《（全国乙卷）2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国乙卷）2022年高考真题——理科数学（全国乙卷）试卷（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=1,2,3,4,5,集合M 满足a M=1,3,则()A.2G M B.3GM C.4走M D.5 M2.已知z=l 2 i,且 z+
2、应+Z?=0,其中。，b 为实数，则()A.a=,b=2 B.a=l,h=2 C.a=l,b=2 D.a=,h=23.已知向量a,方满足|a|=l,|5|=J J,|a-2|=3,则()A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：伪=1+1-,仄=1 +%=1 +-%，依此类推，其 中&eN*(4=1,2,).则()%H-6Z|4-%A./?,b5 B.C.b6 b2 D.b4 O,O e 0 且 aH1 )的极小值点和极大值 点.若 否%2，则a的取值范围是
3、.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 6 0 分.1 7 .(1 2 分)记 AAB C 的内角A,氏C 的对边分别为a,4c,已知s i n Cs i n(A-B)=s i n Bs i n(C-A).(1)证明：2a2=b2+c1；2 5(2)若a =5,c o s A =2,求 A B C 的周长.311 8.(2 分)如图，四面体 AB C D 中，A D 1 CD,A D =C D,Z A D B =Z B D C,E 为 AC 的中点.(1)证明：平面
4、平面AC。；(2)设 A3=B D=2,N A C 8 =6 0,点 F 在 3。上，当 A F C 的面积最小时，求 C F 与平面A 3。所成的角的正弦值.1 9.(1 2 分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 1 0 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(单位：n?),得到如下数据：10 10 10并计算得 Zd=0.0 38,工.针=L 6 1 5 8,/=0.2 4 7 4 .i=i i=l i=l样本号/12345678910总和根部横截面积占0.040.060.040.080.080.050.050
5、.070.070.060.6材积量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.0 1）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 86 m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.（%一 乃（凹一歹）_ _ _ _ _附：相关系数r 产，.-1.896。1.37 7.历（七一工）2 f（y一刃2V/=12 0.（
6、1 2 分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,-2）,8（|,1）两点.（1）求E的方程；（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A 8交于点7，点”满足行=而.证 明：直线H N过定点.2 1.（1 2 分）已知函数/（x）=l n（l+x）+a x e-J:.（1）当a =l时，求曲线y =/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（2）若/（x）在区间（一1,0）,（0,长。）各恰有一个零点，求a的取值范围.（二）选考题，共1 0分.请考生在第22、2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐
7、标系与参数方程（1 0分）在 直 角 坐 标 系 中，曲线C的参数方程为广=（t为参数）.以坐标原点为极y=2 s in r点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为0 s in e +1 +加=0.（1）写出/的直角坐标方程;（2）若/与C有公共点，求m的取值范围.2 3.选修4-5：不等式选讲（10分）3 3 3已知a,b,c都是正数，且。2+3+府=1,证明:（1）abc 则5 0-史 历=2 5,3 13 1所 以 庆=一，2故e+c)2=/+c 2+c =5 0+3 1=8 1,所以+c =9,所 以 的 周 长 为a+Z?+c =14.18.(1)因为A Z)=C
8、r),E为AC的中点，所以A C J _ DE：在小A B D 和&CBD 中，因为 A D =C D,Z A D B =ZCDB,D B =D B ,所以2 C 8 D,所以A 6=C8,又因为E为AC的中点，所以A C J _ 8 E；又因为O E,B E u平面8 EZ)，DECB E=E,所以A C J _平面6 E 0，因为ACu平面ACO,所以平面B E。J _平面A C O.(2)连接七户，由(1)知，A C _ L平面3E D，因为E F u平面BE D，所以 A C _L E F,所以=当七户_L 3。时，石户最小，即AFC的面积最小.因为所以CB=A3=2,又因为NACB=
9、60。，所以AABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,B E =6，因为所以。E=AC=1,2在 。所 中，D E2+B E2=B D2 所以 3E_LE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z ,则4(1,00),网0,疯0),(0,0,1),所 以 标=(-1,0,1),丽=卜1,6,0),设平面45。的一个法向量为n=(x,y,z),h-A D则一n-AB=-x+z=0=-x+/3y=0取=有，则=(3,6,3),又因为c(1,0,0),F 0,1 ,所 以 方=(71设C F与平面ABD所成的角的正弦值为。0 0 o,即 f(x)Q所以/(x)在(
10、-1,0)上单调递增,/(x)/(0)=0故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意2 若一啜b 0,当x (0,+o o),则 g(x)=e 0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g (0)=1+a.0,即尸(x)0所以/(x)在(0,+8)上单调递增,f(x)/(0)=0故/(x)在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若”一 1当 x e (0,+8),则 g (X)=e 2 a x 0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=1 +a 0所以存在m e (0,1),使得g(=0,即八加)=0当 x w (0,/),/(x)0,/(%)单调递增所以当 x e (0,m
11、),f(x)0所以g (x)在(-1,0)单调递增g (-l)=+2 a 0e所以存在 e(-l,0),使得g ()=0当 x G(-1,r i),g (x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在f G(T,“),使得g(f)=0,即/=0当x e (-1J),/(x)单调递增，当x G Q,0),/(%)单调递减有xf-o o而/(0)=0,所以当 x e Q,0),/(x)0所以/(A-)在(-1 J)上有唯一零点,&0)上无零点即，(x)在(1,0)上有唯一零点所以a/3x+y+2 m =Q 中，可得 3cos 2f+2sinf+2m=0,所以 3(l-2siij
12、2 f)+2sinf+2zn=0,化简为-6sin+2sinr+3+2/n=0，要使/与C有公共点，则2m=6sin2f一2sin”3有解,令sinr=a,则a e -1,1,f(a)=6a2-2 a-3,(反启1),对称轴为。=:，开口向上，6所以/(G s=/(T)=6+2 3=5，上,、-1、1 2 c 19/(Q)m in =/(2)=_ 2 _ 3 =-工，6 6 6 619所以-2 m 5619 5m的取值范围为一二 0,b 0,c 0,则QTO，/3 0，对 0，3 3 3 _所 以 竺 也 土1 2瓦”，3 即(4拉?)2 1，所以4秘 0,b 4,c 0,所以Z?+c2 2 /，a+c 2fac，a-b2l3所 以 4 a _出，b b;b+c 2y/bc ly/abc Q+C 2ac33 3 +:/+,5h+c a+c a+b 2y ahc 2lahc 2al当且仅当。=c时取等号.72 _ c2 即a=b=c=时取等号.a b，33b2 c,c c2,，-,2y1 abc a+b 2yab lyfabc3 3 3/+序+G _ _ 1_冗 2yjahc 2yabc-14-
