《2024年新高考数学一轮复习专题15 直线与圆（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年新高考数学一轮复习专题15 直线与圆（解析版）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题15 直线与圆一、知识速览二、考点速览知识点1 直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是的直线没有斜率（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率kyy0k
2、(xx0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率kykxb与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0（A2B20）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数知识点2 两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存
3、在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2、两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3、三种距离公式（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.（2）点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.（3）两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P(x0，y0)的直线系
4、方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；（3）垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；（4）过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2)知识点3 圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：半径：
5、r2、点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0a)2(y0b)2r2点在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆外(x0a)2(y0b)2r2点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x2y2DxEyF0的结构都认为是圆，一定要先判断D2E24F的符号，只有大于0时才表示圆若x2y2DxEyF0表示圆，则有：（1）当F0时，圆过原点（2）当D0，E0时，圆心在y轴上；当D0，E0时，圆心在x轴上（3）当DF0，E0时，圆与x轴相切于原点；EF0，D0时，圆与y轴相切于原点（4）当D2E24F时，圆与两坐标轴相
6、切知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离（2）两种判断方法：2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0xy0yr2.过圆(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.（3）切线长从圆x2y2DxEyF0(D2E24
7、F0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L 2.（2）代数法：若直线ykxb与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|x1x2|y1y2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1
8、r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率ktan 的取值范围（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【典例1】（2223高三上遂宁期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】设直线的倾斜角为.
9、因为，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.【典例2】（2223高三全国课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则，为钝角，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.【典例3】（2223高三全国课时练习）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）A或 B或 C D【答案】B【解析】，直线的斜率，直线的斜率，直线与线段相交，如图所示，直线的斜率的取值范围为或故选：B二、求解直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待
10、定系数法：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程【典例1】（2023高三上海浦东新模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为 【答案】和【解析】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，将代入得，解得，故直线方程为，故答案为：和【典例2】（2023高三全国专题练习）已知一条直线经过点A（2,），且它的倾斜角等于直线xy0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；【答案】xy30【解析】由已知得直线xy0的斜率为，则其倾斜角为30，故所求直线倾斜角为60，斜率为
11、，故所求直线的方程为y-()，即xy30故答案为：xy30【典例3】（2324高三上全国课时练习）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：（1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；（2）经过两点，；（3）经过点，平行于x轴；（4）在x轴，y轴上的截距分别为，【答案】（1）；(2)；（3）；（4）.【解析】（1）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为，所以所求直线的方程为，即.（2）直线的斜率，所以直线的方程为，即.（3）经过点，平行于x轴的直线斜率为0，所以经过点，平行于x轴的直线方程为.（4）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即.三、由一般式方程确定两直线位
12、置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)，l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)【典例1】（2324高三上江苏连云港阶段练习）“”是“直线：与：平行”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立；直线：与：平行，有，解得或，其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直线：与：平行”的充要条件.故选：A.【典例2】（2023高三
13、湖北一模）（多选）已知，直线：，：，且，则（ ）A B C D【答案】ABD【解析】由，得，即，则，当且仅当，即时等号成立，所以有，A选项正确；由，有，当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立；由，有，则，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误；由，有，当且仅当，即时等号成立，D选项正确.故选：ABD.【典例3】（2022高三全国专题练习）已知直线和，则（ ）A和可能重合 B和不可能垂直C存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D以上都不对【答案】C【解析】直线，斜率为；直线，斜率为；，所以和不可能重合，A错误；时，和可能垂直，所以B错误；由知和不平行，设和相交于点，则直线以为中心旋转后与重合，所以C正确，D错误.故选：C.四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法
