《2024年高考数学一轮复习05 一元函数的导数及其应用（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学一轮复习05 一元函数的导数及其应用（原卷版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 一元函数的导数及其应用一、知识速览二、考点速览知识点1 导数的概念1、函数yf(x)在xx0处的导数一般地，称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)2、导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)3、函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数知识点2 导数的运算1、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(
2、nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x (x0)f(x)2、导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)知识点3 利用导数研究函数的单调性1、导数与函数的单调性的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减【注意】（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；（
3、2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零2、导数法求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间知识点4 导数与函数的极值、最值1、函数的极值（1）函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值（2）函数的极大值：函数yf(x)在点xb的
4、函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值2、函数的最值（1）在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值（2）若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式
5、变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为【典例1】（2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A B C D【典例2】（2023西藏日喀则统考一模）已知直线是曲线在点处的切线方程，则 【典例3】（2023云南校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 .【典例4】（2023陕西宝鸡统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）A B C D二、含参函数单调性讨论依据（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（
6、2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【典例1】（2023全国高三对口高考）已知函数，求函数的单调区间【典例2】（2023全国高三专题练习）讨论函数的单调性三、已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【典例1】（2023全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）A Be C D【典例2】（2023全国高三专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）A B C
7、 D【典例3】（2023全国高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）A B C D四、构造函数法解决函数问题中的常见类型关系式为“加”型构造：（1） 构造（2） 构造（3） 构造（4）构造（注意的符号）（5） 构造关系式为“减”型构造：（6） 构造（7） 构造（8） 构造（9）构造（注意的符号）（10） 构造【典例1】（2023春重庆高二校联考期中）已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）A B C D【典例2】（2023春江西南昌高二校联考阶段练习）若定义域为的函数满足，则不等式的解集为 .【典例3】（2023春四川宜宾高二校考期中）已知是定义在上的函数，导函数
8、满足对于恒成立，则（ ）A， B，C， D，五、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023全国高三专题练习）若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为 【典例2】（2023全国高三专题练习）已知函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围六、双变量不等式与等式一般地，已知函数，1、不等关系（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有成立，故2、相等关系记的值域为A, 的值域为B,（1）若，有成立，则有；（2）若，有成立，则有；（3）若，有成立，故；一般利用参变分离法求
9、解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023春四川宜宾高二校考期中）已知函数，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【典例2】（2023全国高三专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 易错点1 复合函数求导错误点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。【典例1】（2023全国高三专题练习）求下列函数的导数(1)； (2)； (3) (4)；【典例2】（2023全国高三专题练习）求的导函数.易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系点拨：在使
10、用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。【典例1】（2022秋辽宁鞍山高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A有极小值，极大值 B有极小值，极大值C有极小值，极大值和 D有极小值，极大值【典例2】（2022秋北京高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下四个结论中正确的命题序
11、号是 .，； 是的极大值点；是的极小值点； 是的极小值点【典例3】（2023全国高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为 易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。【典例1】（2023陕西西安统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A B C D【典例2】（2022秋山东济宁高三校考阶段练习）已知函数，若在内为减函数，则实数a的取值范围是 【典例3】（2023全国高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）A3 B C6 D易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚点拨：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系极值点的导数值为0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数看正负。【典例1】（2023浙江绍兴统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）A B C D【典例2】（2023全国高三专题练习）（多选）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A B C D 学科网（北京）股份有限公司
