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1、生且只能发生这一组中的一个事件；事件任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一较，作出判断：当|K|(或K)时否定H0，否则认为H0相容。两类错第一类错误误上H0成立判为H0为不);（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.（5）对于xx，yy，1212F(x，y)F(P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立Pn mC n m从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。考研复习概率公式大全第 1 章 随机事件及其概率（ 1 ）排列组合公式（2 ）加法和乘法原理
2、（3 ）一些常见排列（4 ）随机试验和随机事件（5 ）基本事件、样m!(m n)!m!n!(m n)!加法原理（两种方法均能完成此：事m）+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m n 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它
3、出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。，P(Xxi)我们从样本(x,x,x)与2212n12121(01)的概率包含这个待估参数，即P11,2那2）期望的性质（3）方差的性质（4）常见分布的期望和方差（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X2）正态12n总体下的四大分布/nt分布设x,x,x为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数（6 ）事件的关系与运算本空间和 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中
4、的一个事件；事件 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件， 来用表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间， 示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C ，表示事件，它们是 的子集。为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（ ）的概率为 1 ，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。关系：如果事件A 的组成部分也是事 的组成部分（，A 发生必有事件B 发生 ）： A B如果同时有A B ，B A ，则称事件A 与事件 B 等价，或称 A等于 B：
5、A=B。A、B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+ B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、B 同时发生： A B，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件 A 的逆事件， 或称 A 的对立事件， 记为 A。它表示性：设2(n),则kii1t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且XN(0,1),Y2(n),X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。
6、设总体X含有一个待估的未知参数。如果都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有P(A1A2An)（7 ）概率的公理化定义（8 ）古典概型（9 ）几何概型（ 10 ）加德摩根率：A ii 1A B A B ， A B A BP( ) P(2 ，) P(21设任一事件 A ，它是由1P(A)= ( ) ( ) (1 2n)组成的，则有m= P( ) P( ) P( )m。P(A)。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。nA 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：
7、 A(BC)=(AB)C A (B C)=(A B) C分配率： (AB) C=(A C) (BC) (A B)C=(AC) (BC)Aii 1设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个条件：1 0 P(A) 1，2 P( ) =13 对于两两互不相容的事件 A1 ，A2 ，有P Ai P(Ai)常称为可列（完全）可加性。i 1 i 1则称 P(A) 为事件 A 的概率。1 ,1 21n,2)1 2 mm A所包含的基本事件数n 基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来
8、描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，L(A)L( )P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),2,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为XB(n,p)。当n1时，P(Xk)pk一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验立；充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)(xn),，P(Yyi)p1,p2,pn,概率。第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量（X，YP(B | A)P(B)法公式（ 11 ）减法公式（ 12 ）条件概率（ 13 ）乘法公式（ 14 ）独立性当
9、 P(AB) 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时， P( B )=1- P(B)定义 设 A、B 是两个事件，且P(A)0 ，则称 P(AB) 为事件 A 发生P(A)条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B/ A) P(AB) 。P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式： P(AB) P(A)P(B/ A)更一般地，对事件A1，A2 ，An ，若 P(A 1A2 An-1)0 ，则有P(A1A2
10、 An) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2) P(An | A1A2 An 1)。两个事件的独立性设事件A 、B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。若事件 A 、B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有P(AB) P(A)P(B)P(A) P(A)若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A与 B 、A与 B 、A与B 也都相互独立。必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P
11、(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。i1的分布密度为u2n222u0.我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W2(n)，其中x2类似。机变量的关系二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设性设(x,x,x)为未知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。量的E（X）=E（X），E（)为事件A的概率。1,121n,2)12mmA所包含的基本事件数n基本事件总数若随机试验的结果为无A B，A B，P(A) 0 ，iP(B )P(A/ B )i i ，i=1 ，2 ，n。j jn n ，（ 15 ）全
12、概公式（ 16 ）贝叶斯公式（ 17 ）伯努利概型对于 n 个事件类似。设事件B1,B2, ,Bn 满足1 B1,B2, ,Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, ,n) ，n2 ii 1则有P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。设事件B1 ，B2 ， Bn 及 A满足1 B1 ，B2 ， Bn 两两互不相容， P(Bi) 0 ，i 1，2， n ，n2 i i 1则P(B / A)n P(B )P(A/ B )j 1此公式即为贝叶斯公式。P(B ) ，（ i 1 ，2 ， n ），通常叫先验概率。 P(B / A) ，（ i 1，2 ，i， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了i “因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生；n 次试验是重复进行的， 即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的
