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1、相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法。3.不同元素的分配问题，采用先先分组再分配的办法；相同元素下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头;（2）甲不排头，也不排尾;（3）甲、乙、丙三人必须在一用0还是用4分成两类，个位用0，其它两位从4中任取两数排列，共有A212(个)，个位用2或4，再确定（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序;（8）甲不排头，乙不排当中;解：（1）甲固定不动，其n Am m!(n m)! ,n nn 1 n n x 2。6 86nn! n(n 1)( n 2) (n m 1) = （ m,n N ,m n ）；规定： 0! 1。(n m)!n4. 组合数公式
2、： Cm n = (n m N ,且m n)n n8 8法二( 位置分析法) 除了甲之外的8个人排在中间和两端的位置，有 A3 种排法，包括甲在内的其余6人排在其排列、组合及其应用（第 1 课时）知识要点：1. 排列的概念：从n个不同元素中，任取m（ m n ）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列。所有排列的个数叫做从 n个元素中取出m个元素的排列数，用符号 Am 表示。2. 排列数公式： Am n3. 组合的概念：从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组
3、合数用符号C m 表示。Am n! m5. 组合数的性质（ 1）C m C n m ；规定：C0n1 ；（2）Cm Cm Cm 1 。典型范例：例 1：解方程： C x 2C x 3 x 2110A3x 3分析： 此题由于 x 2 一定大于 x 2 和 x 3 ，所以只需要 x 3 大于 3，而方程的左边可以通过组合数的性质 （2 ）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。解： 由Cx 2x 3110A3 ，得 C5x 3 x 31 A310 x 3(x 3)! 1 (x 3)! 5! (x 2)! 10 x! 5! 10 x(x 1)解得 x 4 或 3 x 3 3 x 4点评： 涉及排列数或者组
4、合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将 Am 或Cm 写成展开形式或者阶乘形式。例2：有4名男生、5名女生，全体排成一行， 问下列情形各有多少种不同的排法？(1) 甲不在中间也不在两端；(2) 甲、乙两人必须排在两端；(3) 男女相间分析： 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论 起对于相邻问题， 常用 “捆绑法” ；对于不相邻问题， 常用 “插空法”( 特殊元素后考虑) ；对于 “在”与 “不在”的问题， 常常使用 “直接法”或“排除法”解： (1) 法一( 元素分析法) 先排甲有6种, 其余有 A8 种, 故共有6A8 种
5、排法8它位置，有 A6 种排法, 故共有 A3A6 241920 种排法特殊元素（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路例部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给号区域涂色有5种方法，再法有4444=256种一次，（2）恰有一个盒子不放球，也即有一个盒子放两个球，另两个盒子各放一920种排法法三(等机会法)9两端的排法总数是法四(间接法)A9个人的全排列数有A9种,甲排在每一个9999241920种241920 种5解：93 9 3 9 3 9289 3 99(3)C 1 C4 =3783 9 3 9 3 9 1
6、2 9AD法三( 等机会法) 9 两端的排法总数是法四( 间接法) A9个人的全排列数有 A9 种, 甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及693A88(2) 先排甲、乙，再排其余 7 人, 共有 A2 2A7 108007(3)( 插空法) 先排 4 名男生有 A4 种排法, 再将 5 名女生插空有 A5 种排法, 故共有 A4 4 5 4A5 2880 种排法点评： 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法( 优先考虑特殊元素) 、优先考虑特殊元素（优先 考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路例 3：要从 12 人中选出 5
7、 人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（ 1）A、 B、 C 三人必须入选 （2）A、 B、 C三人不能入选（ 3）A、 B 、C三人只有一人入选（ 4）A、 B、 C三人至少一人入选（ 5）A、 B、 C 三人至多二人入选。分析： (1) A 、B、 C 三人必须入选，则只需从余下的 9 人之中选择 2 人；（2）A、 B、 C 三人不能入选, 则需从余下的 9 人之中选择 5 人；（3 ）此小题要分步进行，先从 A、 B 、C 三人选 1 人，有C1 种，再从其余 93人之中选择 4 人，有C4 种，运用乘法原理，共有 C1 C4 种；（4 ）此小题要分类考虑， 即 A、 B 、
8、C三人只选 1人，只选 2 人和 3 人都选； 也可以用间接法；（5 ）此小题用直接法考虑分三类（ 即 A、 B 、C三人只选 1 人， 只选 2 人和都没有选），用间接法要简单一些。(1)C 2 =36(2)C 5 =1263 9(4)C 1 C4 +C2 C3 +C3 C2 =666(5)C 0 C5 + C 1 C4 + C 2 C3 ( 或 C5 C2 )=756点评： 组合问题，要注意是否需要分类或者分步， 还要注意避免重复，比如（4 ）小题，不能先从 A、 B 、C三人中选 1 人，再在未被选的 11 人中选 4 人， 即C1C4 是错误的。3 11练习：一、选择题1方程Cx 28
9、C3x 8 的解集为（ ）A 4B 9C 4,9解： x 3x 8或 x (3x 8) 28 ，所以 x 4 或 9，选 D2. 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进行分类解：(1)就个位C233（4）C2C2C2=90（5）C2A5=180065点评：平均分成的组,不管它们的顺序如何将元素分成几堆，再将各堆分配到每个位置。例3：用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每：解方程：Cx2Cx3x21103x3分析：此题由于x2一定大于x2
10、和x3，所以只需要x3大于3，3nnn 110 8 732x 3 x 19A、 1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种解： 先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选1 人承担丙项任务，不同的选法共有C2 C1C1 2520 种，选C .3. 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（ ）（A）36 个 （B）48 个 （C）66 个 （D）72 个解：任一个五位的奇数都符合要求，共有 2 3 A3 36 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72 个
11、，选 D.4从不同号码的5双鞋中任取4 只，其中恰好有1双的取法种数为A 120 B 240 C 280 D 60解： 先从 5 双鞋中选 1 双， 有C1 种， 再从其余 4 双鞋中选 2 双， 有C2 种， 在这 2 双鞋中每双取 1 只， 都有C15 4 2种，根据分步计数原理，共有C1 C2 C1 C1 =120 种，选 A5 4 2 2二、填空题5. 设 x N , 则C x 1 C 2x 3 的值为。解：由题意可得：2x 3 x 1 x 1 2x 3，解得2 x 4 ， x N ， x 2 或x 3或x 4 ，当 x 2 时原式值为 7；当 x 3时原式值为 7；当 x 4 时原式
12、值为 11所求值为 4 或 7 或 116. A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_.解： 1057. 若C2 3解： C3C24C23C25C24C2 363, 则自然数n _.C25C2 363 1,C3 C2 C2n 4 4 5nC2 364,C3 C25 5C2 .C3 364, n 138. 有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个, 有种分配方案。解： 因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成 个空隙。在 个空档中选 个位置插个隔板，可把名额分成份 ，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6 种分法。三、解答题97 个人排成一排，在下列情况下， 各有多少种不同排法？（ 1）甲排头;（2 ）甲不排头，也不排尾;（3 ）甲、乙、丙三
