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1、b(Fb)F|a.常见求定积分的公式1a定积分的几何意义设函数f(x)在区间a,b上连续.在a,b上(x)既取正值又取负值时，定积分bf(x)dx的几何意义是曲线yf(x)，两条直线axa,xb与x轴3）根据定义，平均温度为114温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数f(x)在x,x(xx)上函数值的平均值为12xa x x x0 1 2x i 1i n等分成几个小区间，在每一个小区间x ,x 上任取一点(i 1,2, ,n) ，作和 f ( ) xii if ( ) ，当ni 1ii 1 i aa n nf ( ) ，这里 a 、b 分别叫做积分的ia 1 2a c aa n 1
2、a（2） b cdx cx |b （C 为常数）a a（4） b cos xdx sin x |b（5） b 1 dx ln x |b（ 1） b kf (x)dxab f (x)dxa 1b f (x)dxa 2aaa a（ 1） b xndx xn 1 |b (n 1)a a（3） b sin xdx cos x |ba aa x a（6） b exdx ex |ba第三讲 定积分与微积分基本定理一基础知识梳理1.定积分的概念：1、定积分概念定积分定义：如果函数 f (x) 在区间a,b上连续，用分点x L x b ，将区间a,bi 1 in b an时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫
3、做函数 f (x) 在区间a,b上的定积分，记作x ,x b f (x)dx ，即b f (x)dx lim n b a i 1下限与上限， 区间a,b 叫做积分区间， 函数 f (x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f (x)dx 叫做被积式.注：（ 1 ）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2 ）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代 替；求和；取极限.2.定积分性质k b f (x)dx ；a（2） b f (x) f (x)dx（3） c f (x)dx b f (x)dx b f (x)dx(a c b)3.微积分基本定理一般地，如果 f (x) 是在a,b上有定义
4、的连续函数，并且F (x) f (x) ，则 b f (x)dx F (b) F (a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常 把 F ( b) F (， a 记 作 F (x b ) ， 即b f (x dx) F x b ( F b) F| a .4、常见求定积分的公式1aa（7） b axdxaxln aa|b (a 0且a 1)5、定积分的几何意义设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续.在 a,b 上，当 f (x) 0时，定积分 b f (x)dx 在几何上a表示由曲线 y f (x) 以及直线x a,x b 与 x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（
5、 1）所示.在 a,b 上，当 f (x) 0时，由曲线 y f (x) 以及直线x a,x b 与 x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分b f (x)dx 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；a在 a,b 上，当 f (x)既取正值又取负值时，定积分b f (x)dx 的几何意义是曲线 y f (x) ，两条直线ax a,x b 与 x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在 x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比试求物体上有定义的连续函数，并且F(x)f(x)
6、，则bf(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本)dx；（3）2cos2xdx1023.赢在高考第51页例2x37125题型四、定积分的实际应用1将和式的极限lim ( p 0) 表示成定6、应用定积分求曲边梯形的面积（ 1 ）如图，由三条直线 x a,x b a b ，x轴（即直线 y g(x) 0 ）及一条曲线 y f (x) ( f (x) 0)围成的曲边梯形的面积S b f (x)dx b ( f (x) g(x)dxa a（2） 如图，由三条直线 x a,x b a b ， x轴（即直 线 y g(x) 0 ）及一条曲线 y f (x) ( ( f (x) 0) ) 围成的
7、 曲边梯形的面积：；（3）如图，由曲线 y f (x) ，y f (x) f (x) f (x) 0 1 1 2 2 1 2及直线 x a,x b a b ，围成图形的面积公式为：.注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（ 1 ）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2 ）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3 ）写出定积分表达式；（4 ）求出平面图形的面积.7、利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数 v v(t) (v(t) 0) 在时间区间 a,b 上的定积分，即.变力作功物体在变力F(x)的作用下做
8、直线运动，并且物体沿着与F (x) 相同的方向从x a 移动到x b a b ，那么变力F (x) 所作的功W b F (x)dx.a二、典型例题题型一 定积分的定义1p 2p 3p . np n nP 110 x积分A 1dx B1010 x（ B ）xp dx C 1 ( ) p dx D0 n1 ( x) p dx题型二、微积分基本定理求定积分1、计算下列定积分的值（ 1） 3 (4x x2 )dx；（2） 2 (x sin x)dx ；（3） 2 cos2 xdx 1 0 20 1 x2（4） 1 x4 (1 x4 )dx（ 1）203；（ 2）282 3 |3x2 12 |dx =
9、0A21 B 22（ ）2351；（ 3） 2（C）C 23 D 243.赢在高考第 51 页例 2条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积Sbf(x)dxb(f(x)g(x)dxaa（2写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动，k0故阻力所作的功为(a0)，其中温度的单位是C，时间的单位是小时，t=0表示1200，tb(Fb)F|a.常见求定积分的公式1a定积分的几何意义设函数f(x)在区间a,b上连续.在a,b上y 解：设过原点的直线方程为 y=kx，解方程组kxx2 2ax ，题型三、用定积分求面积1、如图，求由两条曲线
10、 y x2围成图形的面积解：由图形的对称性知， 所求图形面积为位于 y 轴右侧 图形面积 的 2 倍y 由yx 2得 C（ 1，-1 ）同理得 D（2 1 所求图形的面积2S= 2 104 1x2 ( 1)dx4 ( x2 )dx 2 3x2 dx2( 1043 3 44 0 12 1 1 32( 1 2 2 )2、如图，抛物线 C1：y= -x2 与抛物线 C2：y=x2-2ax(a0)交于 O、A 两点若过原点的直线 l 与抛物线 C2 所围成的图形面积 为92a3 ，求直线 l 的方程y得 x1=0 ，x2=k+2a 当 k+2a0 时，S k 2a (kx x2 2ax)dx0213x
11、3 )k 2a 0(k 2a x2k 2a (k 2a)x x2 dx0(k 2a)36于是 (k+2a)3=27a3 ，解得 k=a 所以，直线 l 的方程为 y=ax当 k+2a0 时，S 0 (k 2a)x x2 dxk 2a(k 2a)36 于是 - (k+2a)3=27a3 ，解得 k= -5a所以，直线 l 的方程为 y= -5ax综上所述，所求直线 l 的方程为 y=ax 或y= -5ax3、在曲线y x2 (x 0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112.试求1 切点A的坐标2 过切点A的切线方程A 1,1y 2x 14、如图，抛物线 y 4 x2 与直线 y3x 的二交点为 A、B.点 P在抛物线的弧上从 A 向 B 运动。（ 1 ）求使 PAB 的面积为最大时 P 点的坐标(a, b) ；（2）证明由抛物线与线段 AB 围成的图形， 被直线 xa 分xx为面积相等的两部分.1）P( , ) ；（ 2 ）面积均为 。 2 4 12解： 物体的速度V (bt3 ) 3bt 2 媒质阻力zuy4A2P4 2 0 2 42468B 10121 2 1 2xx，4y x2 及直线 y= -1 所y1-1 C2例 1 图
