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1、北京东城区第二十四中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点个数为（ ） A0B1C2D3参考答案：答案：D2. 已知双曲线的右焦点为，是第一象限上的点， 为第二象限上的点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A B C D参考答案：B略3. 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则ABC面积的最大值为（ ）A. 1B. C. 2D. 4参考答案：A【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：结合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，
2、可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值【详解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 当且仅当，时取等号，, 则，所以面积的最大值1. 故选:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，属于难题.4. 设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是A B C D参考答案：B考点：函数综合因为函数是定义在上的奇函数，且当时，所以令x0,所以所以即所以，若为上的“20型增函数”，则对任意的，都有，所以即，又因为所以5. 已知直线l：xy=1与圆：x2+y22x+2y1=0相交于A，C
3、两点，点B，D分别在圆上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（）ABCD参考答案：A【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形ABC和ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大【解答】解：把圆：x2+y22x+2y1=0化为标准方程：（x1）2+（y+1）2=3，圆心（1，1），半径r=直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d=，由勾股定理的半弦长=，所以弦长|AB|=2=又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两
4、个三角形ABC和ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AB|CE|+|AB|DE|=故选：A【点评】本题涉及到圆与位置关系的题目，可采用数形结合思想，实现代数和几何间的转化，然后分析题目具体问题，求解即可，属于中档题6. 如果x=x+x，xZ，0x1，就称x表示x的整数部分，x表示x的小数部分已知数列an满足a1=，an+1=an+，则a2017a2016等于（）A2017+B2016C6D6+参考答案：C【考点】数列递推式【分析】通过写出前几项，归纳可以得出结论【解
5、答】解：a1=，an+1=an+，a2=2+=6+2，a3=10+=12+，a4=14+=18+2，a5=24+，由此可得，a2017a2016=6，故选C【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. 已知集合，函数的定义域为集合B，则AB=（）A.2,1B. 2,1)C. 1,3D. (1,3 参考答案：B【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。8. 已知，则以下结论正确的是（） ，大小不定参考答案：9. 直线与曲线相切，则b的值为( ) A2 B1 C D
6、1参考答案：B略10. 函数的大致图象是参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式的概率为_参考答案：12. 函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围是_参考答案：13. 已知椭圆与轴相切，左、右两个焦点分别为，则原点O到其左准线的距离为 参考答案：略14. 在极坐标系中，点到直线的距离为 参考答案：15. 若= 参考答案：答案: 16. 已知集合，若，则实数的取值范围是 参考答案：答案：(2，3)解析：集合=x| a1xa+1，=x| x4或x1 又， ，解得2a3，实数的取值范围是(2，3)。17.
7、若复数 (i为虚数单位)为纯虚数，则实数m 参考答案：-1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分） 已知 (I)求的值； (II)求的值。参考答案：解析：(I)解： 由 ，有 解得 。4分 (II)解法一： 。6分 。12分 解法二：由(I)，得 。6分 于是 。8分 。10分代入得 。12分19. (本小题满分12分) 已知点,点是圆C：上的任意一点,，线段的垂直平分线与直线交于点. （1）求点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围参考答案：（）；（2） 【知识点】
8、轨迹方程；直线与椭圆的位置关系B4解析：（1）由题意知，E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：4分（2）设，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去y,得： 6分因为O在以PQ为直径的圆的内部，故7分而由 9分得： , 且满足（*）式M的取值范围是 12分【思路点拨】（）根据已知条件结合椭圆的定义即可得轨迹方程；（2）直线与椭圆的方程联立得，结合根与系数的关系以及判别式判断出解不等式即可。20. （12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD面ABCD，E为PA的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.参考答案：（1）取的中点，连和，过点作，垂足为，又，四边形为平行四边形，. .（2分），
9、在直角三角形中，而分别为的中点，且，又，且，四边形为平行四边形，.（4分） ， 平面，平面，平面.（6分） （2）由第（1）问得平面，则点和点到平面的距离相等，.（8分），.（10分）.（12分）21. (本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD中， BDCD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点（1）求证：GH平面CDE；（2）记，表示四棱锥F-ABCD体积，求的表达式；（3）当取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值参考答案：（1）证法：,且四边形EFBC是平行四边形H为FC的中点-2分又G是FD的中点 -3分平面CDE，平面CD
10、E GH平面CDE -4分证法：连结EA，ADEF是正方形G是AE的中点 -1分在EAB中，-2分 又ABCD，GHCD， -3分平面CDE，平面CDE GH平面CDE -4分（2）平面ADEF平面ABCD，交线为AD 且FAAD，FA平面ABCD.-6分BDCD, ， FA=2,（） （）-8分（3）要使取得最大值，只须（）取得最大值，当且仅当即时 取得最大值-10分解法：在平面DBC内过点D作于M，连结EM平面EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-12分当取得最大值时，,即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的正弦值为.-14分解法：以点D为坐标原定，DC所在的直线为轴建立
11、空间直角坐标系如图示，则,-12分设平面ECF与平面ABCD所成的二面角为，平面ECF的法向量由得令得 又平面ABCD的法向量为.-14分略22. 定义：在平面内，点P到曲线上的点的距离的最小值称为点P到曲线的距离在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：及点，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线W（）求曲线W的方程；（）过原点的直线l（l不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CECD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为k1，k2，求参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）判断P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为，求出a，b，即可求解曲线W的方程（）设C（x1，y1）（x1y10），E（x2，y2），则D（x1，y1），则直线CD的斜率为，利用CECD，求出直线CE的斜率是，设直线CE的方程为y=kx+m，联立通过韦达定理，求出直线DE的方程为，顶点F（2x1，0）可得，然后推出斜率比值【解答
