湖南省邵阳市武冈迎春中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省邵阳市武冈迎春中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U=R，集合，集合＜＜2，则（    ）    A．      B．       C．       D． 参考答案： 答案：D 2. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为      (      ) A.28π B. 32π  C.36π D. 参考答案： D 3. 若，，均为单位向量，且?=﹣， =x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　） A．2 B． C． D．1 参考答案： A 【考点】平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值． 【解答】解：∵，，均为单位向量， 且?=﹣， =x+y（x，y∈R）， ∴==x2+y2﹣xy=1， 设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1=0， ∴3x2﹣3tx+t2﹣1=0， ∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解， ∴△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0， ﹣3t2+12≥0， ∴﹣2≤t≤2 ∴x+y的最大值为2． 故选A． 4. 已知函数,,若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是(    ) A B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称，即，等价于，数形结合求解. 【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则 ，即 所以指数函数与在恒有交点 当直线与相切时，由于，设切点 此时切线方程：过（0，0） 因此： 数形结合可知：或时，与有交点 又要求在恒有交点， 由图像，当时，，当时， 综上：解得 故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题. 5. 对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为 A．0个　　     B．1个　　  C．2个　       D．4个 参考答案： C 当时，不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知，若 ，则”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C. 6. 设复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D ，该复数对应的点为，它在第四象限中．故选D． 7. 如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为(     ) A．7πcm2 B．8πcm2 C．9πcm2 D．11πcm2 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，分别计算各个面的面积，累加可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体， 圆柱的底面直径与半球的直径均为2， 圆柱的高为3， 故圆柱的底面面积为=π，[来源:学科网ZXXK] 圆柱的侧面积为：2×π×3=6π， 半球面面积为：×4×=2π，[来源:学§科§网] 故该几何体的表面积S=π+6π+2π=9π， 故选C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键． 8. 函数的定义域为,,对任意,则的解集为( ) A.     B.     C.      D.R 参考答案： C 略 9. 在半径为2的圆内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2的概率为() A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M在以O为圆心，为半径的圆的内部，所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：＝，得解． 【详解】 解：如图，要使过点M的所有弦都大于2，|OM|≤， 所以点M在以O为圆心，为半径的圆的内部， 所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题． 10. 若复数（为虚数单位），则等于（   ）        A.                  B.                 C.                  D. 参考答案： A 因为，， 所以，故选择A。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点，直线与椭圆相交于A,B两点，则ABM 的周长为__________. 参考答案： 8 略 12. 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是________． 参考答案： 【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12 【答案解析】   解析：因为函数在区间上是减函数，所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 而在区间上的最小值是2，所以. 【思路点拨】由函数在区间上是减函数，可知在区间恒成立，即在区间恒成立， 而在区间上的最小值是2，所以. 13. 已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点其中落在x正半轴上，且这六个点分别落在以原点为始点，X非负半轴为始边的∠的终边上，所有的∠可表示为__________________ （用一个含的式子表示）.    参考答案： 略 14. 定义平面点集R2 ={x,y)|x∈R,y∈R丨，对于集合，若对，使得{P∈R2|丨PP0|0}是开集； ③开集在全集R2上的补集仍然是开集； ④两个开集的并集是开集. 其中你认为正确的所有命题的序号是______. 参考答案： 略 15. 设x，y满足约束条件，则的最小值为_______． 参考答案： -5   不等式组表示的平面区域如图所示   由得， 求的最小值，即求直线的纵截距的最大值 当直线过图中点时，纵截距最大 由解得点坐标为，此时   16. 在中，若_________ 参考答案： 17. 已知函数在时有极值0，则       ． 参考答案： 11 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，，. （1）试用表示，并求的取值范围； （2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）. 参考答案： （1）在中，显然，， ，………………2分 矩形的面积，…4分 于是为所求.…………………6分 （2） 矩形健身场地造价 ………………………………………7分 又的面积为，即草坪造价，……………8分 由总造价，，.…10分 ，……………………………………………………11分 当且仅当即时等号成立，……………………………12分 此时，解得或， 所以选取的长为12米或18米时总造价最低.………………………14分   19. 已知关于x的不等式有解，记实数m的最大值为M. （1）求M的值； （2）正数a、b、c满足，求证：. 参考答案： （1）；（2）证明见解析. 试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得，所以，解这个不等式可求得.（2）由（1）得，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为. 试题解析：（1）, 若不等式有解， 则满足，解得， ∴. （2）由（1）知正数满足， ∴ .当且仅当，时，取等号. 20. (本小题满分10分)已知二项式的展开式中第2项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列． (Ⅰ)求及的值． (Ⅱ)数列中，，，，求证： 能被4整除． 参考答案： (Ⅰ) ，                 ………………2分 故，，．                         ………………4分 (Ⅱ)证明：①当时，，，能被4整除． ②假设当n=k时， 能被4整除，即，其中p是非负整数． 那么当n =k+1时， == =显然是非负整数， 能被4整除． 由①、②可知，命题对一切都成立．              ………………10分 21. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(φ为参数)，直线的参数方程为 (t为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为. (1)求点的直角坐标，并求曲线的普通方程； (2)设直线与曲线的两个交点为，，求的值. 参考答案： (1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标， 所以，消去参数的曲线的普通方程为：. (2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得： ，设其两个根为，，所以：，， 由参数的几何意义知：. 22. （本题10分）已知 （1）求的最小正周期 （2）若时，求的值域   参考答案： （1）；（2）.    【知识点】三角变换 三角函数的图像与性质C4 C7 解析： （1） （2） 得 所以     所以的值域为 【思路点拨】通过三角恒等变换将式子化为利用周期公式可求得周期，利用整体思想求得，再结合正弦函数的图像，求得值域.