广西壮族自治区桂林市逸仙中学高二数学理月考试题含解析

广西壮族自治区桂林市逸仙中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 是虚数单位，复数的值是(    )                                                    参考答案： C   2. 不等式≥0的解集为（　　） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 参考答案： B 【考点】其他不等式的解法． 【分析】先将此分式不等式等价转化为一元二次不等式组，特别注意分母不为零的条件，再解一元二次不等式即可 【解答】解：不等式≥0 ?（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2 ?﹣2≤x≤1且x≠﹣2?﹣2＜x≤1． 即不等式的解集为：（﹣2，1]． 故选B． 3. 复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　           （　　　） 　    A．－1　　             B．0　　                 C．1　　                 D．i 参考答案： B 略 4. 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ） A.24个              B.30个          C.40个          D.60个 参考答案： A 略 5. 已知随机变量的的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4     则Dξ等于（    ）    A．0     B．2    C．1    D．0.8 参考答案： D 略 6. 在中，,则=   (     ) A.        B.         C.       D. 参考答案： A 7. 已知函数y=ax3－15x2＋36x－24在x=3处有极值,则函数的递减区间为 A.(－∞,1),(5,＋∞)             B.(1,5)      C.(2,3)           D.(－∞,2),(3,＋∞) 参考答案： C 略 8. 某产品的广告费用?与销售额?的统计数据如下表 广告费用?（万元） 4? ?2 ?3 ?5 销售额?（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为?9．4，据此模型预报广告费用为6万元时 销售额为                                                                （??） ?A．63.6万元   B.65.5万元  C.67.7万元    D ．72.0万元 参考答案： B 略 9. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是增函数的是． A.         B.         C. y =       D. 参考答案： B 10. 下列说法中错误的个数为                                             （     ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件.   A． 2    B． 3           C．4     D．5 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是　　． 参考答案： 乙 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论． 【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）； 假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的； 所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯． 故答案为乙． 【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推理，得出结论． 12. △ABC中，b=a,  B=2A，则△ABC为__     三角形 参考答案： 等腰直角 13. 若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是           w 参考答案： 解析：由题知，且，又，所以有，∴。 14. 在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是       . 参考答案： 略 15. 在△ABC中，AB=1,  BC=2,  B=60°，则AC＝        。 参考答案： 6 16. 已知的左右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线左支交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系． 【解答】解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1=30°， ∴AF2=2AF1，又|AF2|﹣|AF1|=2a． ∴AF2=4a，AF1=2a，又F1F2=2c， 又在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a2+4c2=16a2，∴ =3． ∴e==， 故答案为：． 17. 已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=　　． 参考答案： 2 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1）， 若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2； 故答案为：2． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 25. （本题满分12分）已知二次函数满足条件：① 是的两个零点；②的最小值为 （1）求函数的解析式； （2）设数列的前项积为，且 ，，求数列的前项和 （3）在（2）的条件下，当时，若是与的等差中项，试问数列中第几项的值最小？并求出这个最小值. 参考答案： 25. 解：（1）由题意知：解得，故 （2）因，当时，，所以，又，满足上式，当时，，当且时，数列是等比数列，故数列的前项和 （3）若是与的等差中项，则，从而，得，因是关于的减函数，所以当，即时，随的增大而减小，此时最小值为，当，即时，随的增大而增大，此时最小值为，又，所以，即数列中最小，为 略 19. 已知函数    （1）若对任意的恒成立，求实数的最小值. （2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 参考答案： （1） ；   （2） 20. 已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣a（a∈R）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），证明：f（x）＜axlnx． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）f′（x）=a﹣=， 当a≤0时，ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减； 当a＞0时，若0＜x＜，则ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0， 若x＞，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0， 函数在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增． （2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞）， 则g′（x）=﹣﹣alnx，g″（x）=， 令g″（x）=0，解得：x=， ①≤1即a≥1时，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）递减， g′（x）＜g′（1）=﹣1＜0，故g（x）在（1，+∞）递减， g（x）＜g（1）=0，成立； ②＞1即0＜a＜1时， 令g″（x）＞0，解得：1＜x＜， 令g″（x）＜0，解得：x＞， 故g′（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减， ∴g′（x）＜g′（）=2lna﹣a+1， 令h（a）=2lna﹣a+1，（0＜a＜1）， 则h′（a）=＞0，h（a）在（0，1）递增， 故h（a）＜h（1）=0， 故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减， g（x）＜g（1）=0，成立； 综上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx． 21. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）设，，求. 参考答案： （Ⅰ）证明： 时，. . 由，得， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列  （Ⅱ）， ，…………………①      …………② 由①－②得 . 略 22. 求以为直径两端点的圆的方程。 参考答案： 解析：       得