河南省洛阳市第二十六中学高三数学理联考试卷含解析

河南省洛阳市第二十六中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U和集合A如图1所示，则= A.{3}       B.{5,6}      C.{3,5,6}       D.{0,4,5,6,7,8} 参考答案： B 略 2. 已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若⊥，则xy的最大值为（　　） A．﹣ B． C．1 D．2 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由向量垂直得到x，y的关系，把y用含有x的代数式表示，代入xy，然后利用配方法求最值． 【解答】解：由=（1，x﹣1），=（y，2），且⊥， 得1×y+2×（x﹣1）=0，即2x+y﹣2=0． ∴y=2﹣2x， 则xy=x（2﹣2x）=﹣2x2+2x=． ∴xy的最大值为． 故选：B． 　 3. 等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等于（    ） A．3                 B．-3              C．              D． 参考答案： D． 试题分析：由平面向量的数量积的定义知， ． 故应选D． 考点：平面向量的数量积． 4. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)条件. A．充分     B．必要     C．充要  D．既不充分也不必要 参考答案： B 5.   的值为 (A)      (B)     (C)     (D) 参考答案： A 6. 等比数列中，，，函数，则（  ） A．26    B．29    C．212    D．215 参考答案： C 7. 已知直线m, n，平面，且给出下列命题：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则，其中正确的命题是 A．①④     B．①③    C．②③    D．③④ 参考答案： 答案:A 8. 已知实数a，b满足，则ab的取值范围是 A．[0,2] B．[－2,0] C．(－∞,－2]∪[2,+∞) D．[－2,2] 参考答案： D 令，则， 因，故，当且仅当时取最大值，当时取最小值，故选D.   9. 参考答案： A 10. 设复数z满足，则z=（  ） A．1+3i         B．－1－3i        C．－1+3i      D．1－3i 参考答案： B 复数满足， . 故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论： ①方程一定没有实数根； ②若a>0，则不等式对一切实数x都成立； ③若a<0，则必存存在实数x0，使； ④若，则不等式对一切实数都成立； ⑤函数的图像与直线也一定没有交点。 其中正确的结论是        （写出所有正确结论的编号）. 参考答案： ①②④⑤ 因为函数的图像与直线没有交点，所以或恒成立. ①因为或恒成立，所以没有实数根； ②若，则不等式对一切实数都成立； ③若，则不等式对一切实数都成立，所以不存在，使； ④若，则，可得，因此不等式对一切实数都成立； ⑤易见函数，与f(x)的图像关于轴对称，所以和直线也一定没有交点. 12. 函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为　 　． 参考答案： 6 【考点】正弦函数的图象． 【分析】直接利用周期公式，即可得出结论． 【解答】解：函数的最小正周期为T==6， 故答案为6． 　 13. 设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2半径的最大值是　     　． 参考答案： 2 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值． 【解答】解：由圆C1：x2+y2=9，可得圆心O（0，0），半径R=3 如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大． 则两圆心之间的距离OQ=d=． 因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=3﹣d=3﹣1=2 故答案为：2 14. 已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为　　． 参考答案： 16 【考点】88：等比数列的通项公式． 【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq，得a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入能求出结果． 【解答】解：∵等比数列{an}，且a6+a8=4， ∴a8（a4+2a6+a8）= ==（a6+a8）2=16． 故答案为：16． 15. 已知函数等差数列的公差为2，，则        ． 参考答案： 略 16.  若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是        . 参考答案： 17. 已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为　    　． 参考答案： 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，数形结合求得t的最大值，进一步求得的最小值． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（1，2）． 令t=2x+y，化为y=﹣2x+t， 由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4． ∴的最小值为． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分） 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若b =2，且，求边长a的取值范围． 参考答案： 解:(1) 由正弦定理得           ………………2分   即， 化简可得                                           ………4分 又，所以 因此                                                                          ………………6分 （2）由（1）得，可得 ①                                ………8分 由角B为最小角可得，即       ②          ………………10分 由余弦定理得，把①代入可得                                                                         ………………12分 代入②式，解得                                                ………………14分 19. 如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM． （1）求证：AD⊥BM； （2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM； （2）建立直角坐标系，设，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E﹣AM﹣D的余弦值为，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点， ∴AM=BM=， ∴BM⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD?平面ADM ∴AD⊥BM； （2）建立如图所示的直角坐标系，设， 则平面AMD的一个法向量， ， 设平面AME的一个法向量为， 取y=1，得，所以， 因为 求得，所以E为BD的中点． 【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键． 20. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元．  (Ⅰ)写出y关于x 的函数关系式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      (Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；  (Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，试证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大．  (注：价值损失的百分率=×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计) 参考答案： 解析：(Ⅰ)依题意设，           ……………………………………………2分    ， 故． …………………………… 4分 (Ⅱ)设这颗钻石的重量为克拉， 由(Ⅰ)可知， 按重量比为l∶3切割后的价值为．       w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                   价值损失为．……………………………… 6分    价值损失的百分率为    ∴价值损失的百分率为37.5％．                   ……………………………………8分 (Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为 ，     　　等号当且仅当m=n时成立.   　即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大 . 21. 化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·． 参考答案： 原式=［2sin50°+sin10°（1+）］· =［2sin50°+sin10°（）］· =（2sin50°+2sin10°·）·cos10°=2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°） =2sin60°=．（13分） 22. 如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，面ABCD，，. （Ⅰ）求证：平面平面ADE； （Ⅱ）若，求AF与平面AEC所成角的正弦值. 参考答案： （Ⅰ）见解析（Ⅱ） 试题分析：（I）在三角形中，利用余弦定理求得，利用勾股定理可的，利用由平面得到，所以平面，进而平面平面.（II）建立以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，利用的方向向量和平面的法向量代入公式计算得与平面所成角的正弦值. 试题解析： 解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，，， 由余弦定理，得， 从而，故. 可得为直角三角形且， 又由平面，平面，得. 又，所以平面. 由平面，得平面平面. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得在中，，，又由， 设，，由平面，， 建立以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示： 得，，，. 设平面的法向量为，得 所以 令，得， 又因为， 所以 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 点睛：本题主要考查余弦定理和勾股定理解三角形，考查面面垂直的证明思路和方法，考