2022年辽宁省沈阳市第三十七高级中学高三数学文期末试题含解析

2022年辽宁省沈阳市第三十七高级中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，是的导函数，当时，；当且时 ，，则函数在 上的零点个数为(    ) A、2           B、4          C、5             D、 8 参考答案： B 略 2. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(　　) A.y＝2x－2       B.y＝()x       C.y＝log2x        D.y＝(x2－1) 参考答案： D 3. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由题意画出图形，求出满足条件的的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦的长超过圆内接正三角形边长”为事件 ， 以点 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形， 则要满足题意点只能落在劣弧上，又圆内接正三角形恰好将圆周3等分， 故 故选：C． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题． 4. 已知向量 =（﹣1，2），=（2，m），=（7，1），若∥，则?=（　　） A．8 B．10 C．15 D．18 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出． 【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥， ∴﹣m﹣2×2=0， 解得m=﹣4， ∴=（2，﹣4）， ∵=（7，1）， ∴?=2×7﹣4×1=10， 故选：B 5. 已知圆，点，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得，则当m取得最大值时，点M的坐标是 A．      B．      C．      D． 参考答案： C 由题得圆的方程为 设由于，所以由于表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时最大，m也最大. 故选C.   6. 已知全集U=R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|log3x≥1}，则A∩B=（　　） A．{3} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1} 参考答案： A 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可． 【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}， 则A∩B={3}， 故选：A 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 7. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 考点：选择结构． 专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案． 解答： 解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件； 当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件； 当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件， 故这样的x值有3个． 故选C． 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案． 8. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则(     ) A．f（sin）＜f（cos） B．f（sin）＞f（cos） C．f（sin1）＜f（cos1） D．f（sin）＞f（cos） 参考答案： C 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性． 【专题】证明题；压轴题；探究型． 【分析】观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小． 【解答】解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数， 又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2 所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数， 所以f（x）在（0，1）上是减函数， 观察四个选项A中sin＜cos，故A不对； B选项中sin＞cos，故B不对； C选项中sin1＞cos1，故C对； D亦不对． 综上，选项C是正确的． 故应选C． 【点评】本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度． 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的n = (  ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 参考答案： C 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 S=0，n=1 S=2，n=2 满足条件S＜30，执行循环体，S=2+4=6，n=3 满足条件S＜30，执行循环体，S=6+8=14，n=4 满足条件S＜30，执行循环体，S=14+16=30，n=5 此时，不满足条件S＜30，退出循环，输出n的值为5． 故选C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 10. 点从点出发，按逆时针方向沿周长为的图形运动一周，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图，那么点所走的图形是 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，0<φ<的图象如图所示． 则：函数y＝f(x)的解析式为________； 参考答案： 12.  设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α为________． 参考答案： －4或2 13. 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________ . 参考答案： 14. 已知定义在R上的函数，若存在实数a，使得对任意实数x都有成立，则实数k的最小值为   ▲   ． 参考答案：              15. 若{an}是等比数列，且公比，，则an =______． 参考答案： 【分析】 根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得. 【详解】因为是等比数列, 公比，, 故, 解得, ∴, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题． 16. 若x，y满足约束条件，目标函数z=x+2y的最小值为1，则实数a的值为　  　． 参考答案： 3 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先作出x+2y=1，通过图象确定目标函数和平面区域的交点坐标，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， ∵标函数z=x+2y的最小值为1， ∴x+2y=1， 作出直线x+2y=1， 则直线x+2y=1交直线x+y=1与B， 由得，即B（1，0）， 同时B（1，0）也在直线3x﹣y=a上， 则a=3﹣0=3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 17. 已知a>b>0,ab=1，则的最小值为     ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=log4（4x﹣1）． （1）求f（x）的定义域； （2）讨论f（x）的单调性； （3）求f（x）在区间[，2]上的值域． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）根据4x﹣1＞0求解即可 （2）利用单调性的定义判断即可 （3）根据（2）问结论得出最大值，最小值即可得出值域． 【解答】解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞）， （2）f（x）在（0，+∞）上单调增， 设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）=log4 又∵0＜x1＜x2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1 ∴0＜＜1，即log4＜0 ∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调增． （3）∵f（x）区间[，2]上单调递增， ∴最小值为log4（4﹣1）=log41=0． 最大值为log4（42﹣1）=log415 ∴值域为：[0，log415] 19. （本题满分12分）在正四棱锥中，，与所成的角的大小为 （1）求正四棱锥的体积； （2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上， 求此球的半径. 参考答案： 解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过． ，，又，，得.………………4分 ， 正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分 （2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分 略 20. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 参考答案： （1）, (2) 知识点：轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想. 解析 ：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为 。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： （2）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：        ① 与双曲线T： ② 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③ （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：