2022年江西省吉安市北仑泰和中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果a,b,c满足c
ac B．c（b-a）>0 C． D．ac（a-c）< 0
参考答案：
C
2. 设等比数列的前项和为，若，，则
A．17 B．33 C．-31 D．-3
参考答案：
B
略
3. 设变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C ． D．
参考答案：
D
略
4. 若集合，，则
A．(0,1) B．(0,2) C．(－∞,2) D．(0,+ ∞)
参考答案：
C
5. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
参考答案：
B
6. 已知等比数列{an}，a2＞a3=1，则使不等式（a1﹣）+（a2﹣）+…+（an﹣）≥0成立的最大自然数n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
B
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】先根据a2＞a3=1判断公比q的范围，可得到当n＞3时，有an﹣＜0，再用q表示出a1，…，a5，进而得到（a1﹣）+（a2﹣）+（a3﹣）+（a4﹣）+（a5﹣）=0，从而得到不等式（a1﹣）+（a2﹣）+…+（an﹣）≥0成立的条件．
【解答】解：设公比为q，a2＞a3=1，则有1＞q＞0
可知n＞3时，有an﹣＜0
a3=a1q2=1得a1=
则有a5=a1q4=q2=，同理有a2=
得（a1﹣）+（a2﹣）+（a3﹣）+（a4﹣）+（a5﹣）=0
∴不等式（a1﹣）+（a2﹣）+…+（an﹣）≥0成立的最大自然数n等于5
故选：B．
【点评】本题主要考查等比数列的基本性质．考查运算能力和递推关系．
7. 函数y=的反函数是------------------------（ ）
（A）（B）（C） （D）
参考答案：
B
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数.
【试题分析】当时，，所以；当时，，所以，故答案为B.
8. 已知、是双曲线（a>0,b>0）的两个焦点，为双曲线上的点，若，则双曲线的离心率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
答案：C
9. 在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则?=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．
【解答】解：若|+|=|﹣|，
则=，
即有=0，
E，F为BC边的三等分点，
则=（+）?（+）=（）?（）
=（+）?（+）
=++=×（1+4）+0=．
故选B．
10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A．42 B．19 C．8 D．3
参考答案：
B
依次执行结果如下：
S＝2×1＋1＝3，i＝1＋1＝2，i＜4；
S＝2×3＋2＝8，i＝2＋1＝3，i＜4；
S＝2×8＋1＝19，i＝3＋1＝42，i≥4；
所以，S＝19，选B。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正数满足，则的取值范围为 ，的最小值为 ．
参考答案：
12. （4分）（2015?杨浦区二模）已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于 ．
参考答案：
±1
【考点】： 平行向量与共线向量；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】： 平面向量及应用．
【分析】： 利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．
解：与共线的充要条件是存在实数λ使得，
∴=λ=+，
∵是不平行的向量，
∴，解得k=±1．
故答案为：±1．
【点评】： 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．
13. 直线y=m与y=2x﹣3及曲线y=x+ex分别交于A、B两点，则AB的最小值为 ．
参考答案：
2
【考点】两点间的距离公式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设A（x1，a），B（x2，a），则2x1﹣3=x2+ex2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值
【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），
则2x1﹣3=x2+ex2，
∴x1=（x2+ex2+3），
∴|AB|=|x2﹣x1|=|（x2﹣ex2﹣3）|，
令y=（x﹣ex﹣3），
则y′=（1﹣ex），
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为﹣2，
即有|AB|的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．
14. f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）处的切线方程为 ．
参考答案：
4x﹣y﹣10=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）=x3+x﹣8的导数为f′（x）=3x2+1，
可得切线的斜率为k=3+1=4，
即有切线的方程为y+6=4（x﹣1），
化为4x﹣y﹣10=0．
故答案为：4x﹣y﹣10=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求出导数和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．
15. 已知的展开式中含项的系数为－14，则 .
参考答案：
根据乘法分配律得 ，，.，，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当时，，故.
16. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围
为
参考答案：
17. 若实数x，y满足，则的最大值为_______.
参考答案：
【分析】
作出约束条件对应的可行域，变动直线，确定直线过可行域上的某点时z最大，求出最优解，确定z的最大值.
【详解】作约束条件对应的可行域，如图三角形区域.平行移动直线，当直线过A点时z最大. ,得，，所以的最大值为．
【点睛】本题考查线性规划问题，准确画出约束条件对应的图形及理解目标函数的几何意义是关键，考查数形结合及运算能力，属于基础题.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
参考答案：
（1）（2）
试题分析：解：（1）， ，
，，
（2）设直线BD的方程为
----① -----②
，
设为点到直线BD：的距离，
，当且仅当时取等号.
因为，所以当时，的面积最大，最大值为。
19. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．
（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）∵，
∴，
∵面面，面面，面，
∴面．
（Ⅱ）取的中点，连接，
∵，
∴，
∵面面，面，面，
∴面，
以为原点，所在的直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，
所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设，由，
∴，，．
∴，．
设平面的法向量为，
∵，
∴，
令，则，．
∴．
取平面的一个法向量，
∴．
∴面和面的二面角（锐角）的大小为．
（Ⅲ）在棱上存在一点使得面，此时．
理由如下：为的中点，
取的中点，连接，，，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵，，
∴面面，
∵面，
∴面．
20. （12分）已知函数f(x)＝2cosx(sinx+cosx)
(1)求f(x)的值域和最小正周期；
(2)若对任意，使得m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
21. 设F1， F2分别是椭圆C:的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率.
（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且，求a，b.
参考答案：
（1）根据及题设知，将代入解得或（舍去），故的离心率为； ………………………………………………4分
（2）由题意得，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即 ① ………………………………………………7分
由得，设
则，即
代入的方程，得 ②……………………………………………10分
将①及代入②得
解得
故 ……………………………………………………12分
22. 已知函数
（I）若函数的最小值是，且， 求的值：
（II）若，且在区间恒成立，试求取范围；
参考答案：
解析：（1）由已知，且
解得 （3分）
（7分）
（2），原命题等价于在恒成立
且在恒成立 （9分）
的最小值为0 （11分）
的最大值为 （13分）
所以 （14分）
