湖北省荆州市东港中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市东港中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列复数是纯虚数的是 A．         B．       C．       D． 参考答案： C 2. 无穷等比数列的前项为，则该数列的各项和为       （     ） A.           B.                  C.          D. 参考答案： B 3. 设函数,则（　　） A．           B．3            C．           D． 参考答案： D 4. 若函数的零点为，若,则的值满足（    ）    A.       B.      C.      D.的符号不确定 参考答案： B 5. 设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则实数的值为（　　） A.－4              B.－1             C.4            D.1 参考答案： C 【知识点】复数综合运算 因为是纯虚数， 所以， 故答案为：C 6. (k>0), 则的最大值为                                                 (    )  (A)            (B)            (C)            (D) 参考答案： B 7. 函数是上的奇函数，满足，当 ∈（0，3）时，则当∈（，）时， =（    ）   A.           B.         C.          D. 参考答案： B 令x为，则，由是奇函数，则 设∈（，）则 8. 设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的（    ） （A）充要条件           （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件   （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C. 9. 若，则等于   A．             B．-l         C.              D． 参考答案： A 略 10. 若集合，则（   ） A．          B．        C.          D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题：①幂函数都具有奇偶性； ②命题：，满足，使命题为真的实数的取值范围为；③代数式的值与角有关； ④将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数； ⑤已知数列满足：，记，则； 其中正确的命题的序号是                （请把正确命题的序号全部写出来） 参考答案： ② ⑤ 12. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时 且，则不等式的解集为                         ． 参考答案： 13. 已知双曲线，若抛物线的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1，则抛物线C2的方程为__． 参考答案： 【分析】 表示出双曲线的渐近线方程以及抛物线焦点的坐标，利用点到线的距离公式即可求出的值，得到抛物线方程。 【详解】双曲线，的渐近线：，抛物线的焦点坐标为：（0，）， 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1， 可得：，解得，抛物线C2：． 故答案为：． 14. 已知x∈[﹣1，1]，则方程2﹣|x|=|cos2πx|所有实数根的个数为        ． 参考答案： 7 考点：余弦函数的图象． 专题：数形结合；函数的性质及应用． 分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=|cos2πx|的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数． 解答： 解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=|cos2πx|的图象如下： 根据函数图象可知，图象交点的个数为7个 ∴方程2﹣|x|=|cos2πx|所有实数根的个数为7个 故答案为：7． 点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 15. 已知O为坐标原点，圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0与直线l：x＋2y－3＝0的两个交点为P，Q，则∠POQ＝＿＿＿＿ 参考答案： ,. 16. 如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S： ①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （　　），b=rand （　　）； ②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为　　．（保留小数点后三位） 参考答案： 1.328 【考点】几何概型． 【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解． 【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是， 矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s 则有=， ∴S=1.328． 故答案为：1.328． 【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想． 17. 已知集合，，则集合 =               __． 参考答案： {x|﹣2≤x≤5} 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）的定义域为，                      当时，， ，       1 — 0 +   极小             所以在处取得极小值1. （Ⅱ），          ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增；   ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增.                （III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，即 函数在上的最小值小于零.       由（Ⅱ）可知 ①即，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得， 因为，所以；                      ②当，即时， 在上单调递增， 所以最小值为，由可得； ③当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故    此时，不成立.                            综上讨论可得所求的范围是：或.   略 19. 不等式选讲 已知x，y，z均为正数．求证：．   参考答案： 略 20. （2016?邵阳二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ． （Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程． （Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0 ，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t0|的值． 【解答】解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2=y， 它是开口向上的抛物线，焦点坐标为． （Ⅱ）点P的直角坐标为（﹣2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中， 设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0 ，由题意可知． 把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得． 因为， 所以． 【点评】本题主要考查参数方程和极坐标的应用，参数的几何意义，属于基础题． 21. (本小题18分)已知函数 （1）当时，求的极值 （2）当时，求的单调区间 （3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。 参考答案： 解：     ……2分  ↘  极小值   ↗                                      ……12分   ……5分   ……18分 22. （1）设，试比较与的大小； （2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故函数有最小值，则恒成立； （2）取进行验算： ， ， ， ， 猜测：①，， ②存在，使得恒成立． 证明一：对，且， 有 ． 又因，故， 从而有成立，即． 所以存在，使得恒成立． 证明二：由（1）知：当时，， 设，， 则，所以，，， 当时，再由二项式定理得： ， 即对任意大于的自然数恒成立， 从而有成立，即． 所以存在，使得恒成立．