2022年四川省宜宾市符江中学高三数学理联考试题含解析

2022年四川省宜宾市符江中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 以原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线C，有一条渐近线的倾斜角为60°，点F是该双曲线的右焦点.位于第一象限内的点M在双曲线C上，且点N是线段MF的中点.若，则双曲线C的方程为 A.      B.      C.      D. 参考答案： A 2. 定义在R上的函数的反函数为，且对任意的x都有若ab=100,则      （    ）        A．2                            B．3                            C．4                            D．6 参考答案： D 略 3. 已知双曲线C：的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1、F2，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，且∠OMF2=，则双曲线C的焦距为（　　） A． B．16 C．8 D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的简单性质可得tan∠MOF2=，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1、F2，M为双曲线C的一条渐近线上某一点， ∴tan∠MOF2=， ∴∠MOF2= ∵∠OMF2=， ∴OM=csin=c，MF2=ccos=c， ∴=OM?MF2=×c×c=8， ∴c=8， ∴2c=16， 故选：B 4. 若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A. 1             B. 2           C.  1或2               D.　－1 参考答案： B 略 5. 下列四个命题中真命题的个数是（   ） ①若，则不等式成立的概率是； ②命题“”的否定是“”； ③若“，则”的逆命题为真； ④命题，命题，则为真. （A）        （B）          （C）          （D） 参考答案： D 6. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有   A．14种            B．28种           C．32种            D．48种                               参考答案： A 7. 函数的图象可由的图象如何变换得到(    ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 参考答案： B 【分析】 由题意化简得，然后再把函数的图象经过平移后可得到所求答案． 【详解】由题意得 ， 所以将函数的图象向右平移个单位可得到函数，即函数的图象． 故选B． 【点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：①变换的方向，即由谁变换到谁；②变换前后三角函数名是否相同；③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量而言的，当的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解． 8. 矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC  2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC  3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；…；依次将宽BC n等分，每个小矩形按图（1）分割并把2n个小扇形焊接成一个大扇形．当n→∞时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．大于1.6 参考答案： C 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，即可得出结论． 【解答】解：将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°． 故选C． 9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝ A．10  B．9  C．1  D．1或9 参考答案： B 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（   ） A．     B．     C．    D． 参考答案： A 试题分析：由题意，，则，所以，解得．故选A． 考点：椭圆的几何性质． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是　  　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质． 【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可． 【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2， 又由lg2x+lg8y=lg2， 则x+3y=1， 进而由基本不等式的性质可得， =（x+3y）（）=2+≥2+2=4， 当且仅当x=3y时取等号， 故答案为：4． 　 12. 已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a﹣b=　　． 参考答案： 2 略 13. 已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P-ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P-ABC的体积为36，则球O的表面积为__________。 参考答案： 108π 【分析】 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题． 【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O， 设球O的半径为R， 则正方体的边长为， ∵正三棱锥的体积为36， ∴V= ∴R= ∴球O的表面积为S=4πR2=108 故答案为：108．   14. ，则的值等于       参考答案： 8 15. 已知函数在实数集R上具有下列性质：①直线是函数的一条对称轴;②;③当时，、、从大到小的顺序为_______. 参考答案： 16. 已知两条直线和互相垂直，则等于         ； 参考答案： 略 17. 将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）的长度单位后．所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是           ． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】数形结合；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，求得 m=kπ﹣，k∈Z，可得m的最小值． 【解答】解：函数y=cosx+sinx=2sin（x+） 的图象向左平移m（m＞0）的长度单位后， 得到y=2sin（x+m+） 的图象． 再根据所得到的图象关于原点对称，可得m+=kπ，即 m=kπ﹣，k∈Z， 则m的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A、B两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分． （Ⅰ）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率； （Ⅱ）现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）A组学生的平均分为（分）， ∴B组学生平均分为86分，设被污损的分数为x，由，∴， 故B组学生的分数分别为93，91，88，83，75，·············· 4分 则在B组学生随机选1人所得分超过85分的概率．·········· 6分 （Ⅱ）A组学生的分数分别是94，88，86，80，77， 在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10个，··········· 8分 随机抽取2名同学的分数m，n满足的事件(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个．····································· 10分 故学生得分m，n满足的概率．  12分 19. 设集合A为函数的定义域，集合B为函数的值域，集合为不等式 的解集． (1)求； (2)若，求的取值范围． 参考答案： 解(1)由于，解得，又 所以。所以     …………..6分 （2）因为 由，知 当时，由，得，不满足 当时，由，得，………10分 欲使则， 解得：或，又， 所以， 综上所述，所求的取值范围是   ………12分 20. （本小题满分12分） △ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足． （1）求角A的大小； （2）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小． 参考答案： 21. 如图，在椭圆C：+y2=1中，过坐标原点O作两条互相垂直的射线OA，OB与C分别交于A，B两点． （1）已知直线AB的斜率为k，用k表示线段AB的长度； （2）过点O作OM⊥AB于M点，点P为椭圆C上一动点，求线段PM长度的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意，可设AB：y=kx+m．与椭圆方程联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，利用一元二次方程的根与系数的关系可得：|AB|=|x1﹣x2|==．又由OA⊥OB，知，代入化简解出即可得出． （2）设直线AB：y=kx+m，则，可设M（x，y），由（1）可知，5m2﹣4k2=4．消去m，k可得：点M的轨迹方程为．可得．即可得出． 【解答】解：（1）由题意，可设AB：y=kx+m． 由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 于是，（*） 则|AB|=|x1﹣x2|==． 又由OA⊥OB，知， 即，将（*）代入化简得5m2﹣4k2=4， 所以； （2）若设直线AB：y=kx+m，则，可设M（x，y）， 由（1）可知，5m2﹣4k2=4（**） 由，得，再代入y=kx+m，得， 代入（**），有，即5（y2+x2）2=4y2+4x2， 因y2+x2≠0，故有． 当直线AB的斜率为0或不存在时，显然符合． 故点M的轨迹方程为． 所以，． 而|OP|的最大值为a=2，最小值为b=1， 所以，|PM|的取值范围为． 22. 在递增的等比数列{an}中，，，其中. （Ⅰ）求数列{an}的