2022年四川省自贡市富顺县王大山中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年四川省自贡市富顺县王大山中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则该椭圆离心率的取值范围是(    ) A．    B．      C．        D． 参考答案： B 2. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（　　）种． A．240 B．180 C．150 D．540 参考答案： C 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】排列组合． 【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33，当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果， 当5名学生分成3，1，1时，共有C53A33=60种结果， ∴根据分类计数原理知共有90+60=150 故选：C 【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题． 3. 若复数，则 A.  1   B.  0      C.        D.   参考答案： A .故选A. 4. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是   A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则   参考答案： B   ：对于选项A：m、n平行、相交、异面都有可能；选项B显然成立 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（    ） A．       B．       C．        D．1 参考答案： C 6. 已知数列是各项均为正数的等比数列，  若，则等于（   ）  A、          B、    C、    D、 参考答案： 略 7. 已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A.         B.           C.          D. 参考答案：  答案：C  8. 下列结论一定恒成立的是 （    ） 下列结论一定恒成立的是 （    ） A.         B.若a，b为正实数，则 C．若,则    D. 参考答案： C 9. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为    A       B        C       D  25 参考答案： A 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 A． B． C． D． 参考答案： C 考点：空间几何体的表面积与体积，空间几何体的三视图与直观图 该几何体是一个三棱锥，一条侧棱垂直于底面。 外接球的半径为 所以该几何体外接球的表面积为 故答案为：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点在所给不等式组 表示的平面区域内，则的最大值    为                    参考答案： 6 12. 化简：           。 参考答案： 13. 已知满足：，若的最大值为2，则         ． 参考答案：   略 14. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是         参考答案： 2 15. 定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞ 的解集为　    ． 参考答案： {x丨0＜x＜4}   【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法． 【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）﹣x在R单调递减，原不等式转化成F（log2x）＞F（2），（x＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集． 【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，求导F′（x）=f′（x）﹣＜0，则F（x）在R单调递减， 由f（log2x）＞，即f（log2x）﹣?log2x＞， 由f（2）﹣×2=， ∴F（log2x）＞F（2），（x＞0）， 则log2x＜2，解得：0＜x＜4， ∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}， 故答案为：：{x丨0＜x＜4}． 故答案为：{x丨0＜x＜4}． 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题． 　 16. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比       .  参考答案： 17. 若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由得D（1，）， 所以z=x+y的最大值为1+； 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，。 （I）求函数的单调区间； （II）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值； （III）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围。 参考答案： 【知识点】导数的应用B12 （I）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)；（II）；（III）b＜-e. （I）因为，所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+ ∞)； （II）若函数在区间上是减函数，则在区间(1,+ ∞)上恒成立，令，所以； （III）若函数恰有两个零点，则有两个不同的实数根，令，所以函数h(x)在(0,+ ∞)上有最小值，即，当x大于零趋近于零时，h(x)趋近于零，当x趋向于+∞时h(x) 趋向于+∞，所以b＜-e. 【思路点拨】一般遇到由函数的单调性求参数范围问题，通常转化为不等式恒成立求函数的最值问题进行解答. 19. 已知函数f(x)＝x－alnx＋a3－1(a>0). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)在(，＋∞)上的单调性； (3)若函数g(x)＝2x3－x2lnx－16x＋20，求证：g(x)>0. 参考答案： 20. （本小题满分 分）已知直线与抛物线相切于点，且与轴交于点，定点的坐标为.    （Ⅰ）若动点满足，求点的轨迹；    （Ⅱ）若过点的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围. 参考答案： （本小题满分13分） 解：（I）由     故的方程为点A的坐标为（1，0）              ………… 2分     设     由     整理得：                           ………………  4分   动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上， 长轴长为，短轴长为2的椭圆.               ………5分 （II）如图，由题意知的斜率存在且不为零，      设方程为①     将①代入，整理，得        ………………7分     设．，     则  ②     令     由此可得     由②知           即         ………… 10分                     解得     又     面积之比的取值范围是    ……………… 13分 略 21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点． （1）求证：直线AB1∥平面BC1D； （2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）求三棱锥C﹣BC1D的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D； （2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积． 【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点． ∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线， ∴A1B∥OD． ∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D， ∴直线AB1∥平面BC1D； （2）证明：∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BD， ∵底面ABC正三角形，D是AC的中点 ∴BD⊥AC ∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1， ∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3， ∴S△BCD==， ∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9． 【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题． 22. 如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点. （Ⅰ）求异面直线与所成的角； （Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小. 参考答案： 解法一：（Ⅰ）取的中点，连，则∥，  ∴或其补角是异面直线与所成的角.   设，则，.  ∴.  ∵在中，.  ∴异面直线与所成的角为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 因为三棱柱是直三棱柱，∴平面，  又∵  ∴.    ∴.  ∴～.  ∴. 即得，所得是的中点. 连结，设是的中点，过点作于，连结，则.又∵平面平面  ∴平面. 而，∴，∴是二面角的平面角. 由得. 即二面角的为.  ∴所求二面角为. 解法二： （Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标 系. 设，则、、、 、. ∴， ∴. ∴异面直线与所成的角为.  （Ⅱ）设，则，  由得，知，  ∴. 设平面的一个法向量为，则， ∵， ∴，取，得. 易知平面的一个法向量， ∴.   ∴二面角的大小为. 略