2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市德强中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市德强中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=，g（x）=x2?f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（　　） A．[0，+∞） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1） 参考答案： B 考点： 分段函数的应用；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意可得g（x）=x2?f（x﹣1）=，结合二次函数分别研究各段的单调性可得． 解答： 解：∵f（x）=，∴f（x﹣1）=， ∴g（x）=x2?f（x﹣1）=， 当x＞1时，y=x2单调递增，当x＜0时，y=﹣x2单调递增， 只有当0≤x＜1时，y=﹣x2单调递减． 故选：B． 点评： 本题考查分段函数的单调性，涉及复合函数和二次函数的单调性，属中档题． 2. 若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1] 参考答案： D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可． 【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件， ∴（﹣1，4）?（2m2﹣3，+∞）， ∴2m2﹣3≤﹣1， 解得﹣1≤m≤1， 故选：D． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键． 3. （4分）（2012?商丘二模）函数f（x）=x3﹣的零点所在区间为（　　） 　 A． （﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2） D． （2，3） 参考答案： C 10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（   ） A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟 参考答案： D 5. 已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，,则E的离心率为 （A）      （B）   （C）     （D）2 参考答案： A 离心率，由正弦定理得． 故选A．   6. 设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（      ）     A．若，∥，则∥    　B．若     C．若∥，，则     D．若 参考答案： D 略 7. 已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（　　） A．（﹣5，0） B．（﹣3，0） C．（0，4） D．（﹣5，4） 参考答案： C 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集． 【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}， ∴A∩B={x|0＜x＜4}， 故选：C． 8. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C．40 D．80 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，结合直观图判断棱锥的高及底面相关线段的长，把数据代入棱锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图： 其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4， ∴几何体的体积V=××4×4=． 故选：A． 9. 执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的= .  .    .   . 参考答案： D 10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1为底面的中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正切值是（　　） A．1 B． C． D．2 参考答案： C 【考点】直线与平面所成的角． 【专题】空间角． 【分析】连结A1C1，则∠AO1A1即为O1A与上底面A1B1C1D1所成角的平面角，利用勾股定理得A1O1，在Rt△AA1O1中利用tan∠AO1A1=计算即可． 【解答】解：连结A1C1，则∠AO1A1即为O1A与上底面A1B1C1D1所成角的平面角， 设该正方体的边长为a，则A1C1=a， ∴A1O1=A1C1=a， 在Rt△AA1O1中，tan∠AO1A1==， 故选：C． 【点评】本题考查线面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆E ：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于      ． 参考答案： 【知识点】椭圆的简单性质．H5 答案   解析：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a 可设代入椭圆方程解得： 设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形，所以∠COD=30° 对C点：，解得：a=3b，根据：得：， ，故答案为：． 【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设，从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用，求得a=3b，最后根据得出离心率． 12. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为，它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=　　． 参考答案： 考点： 圆的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．3794729 专题： 计算题． 分析： 先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线C的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及圆心到直线的距离d，即可求出|AB|的长． 解答： 解：∵， 利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简 ∴x﹣y=0 相消去α可得 圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4得到圆心（1，2），半径r=2， 所以圆心（1，2）到直线的距离d==， 所以|AB|=2 = ∴线段AB的长为 故答案为：． 点评： 本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题． 13. 某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形， 各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是 ____________. 参考答案： 、 本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,易知此几何体是半个圆锥.该半圆锥的底面半径为4,高为6,母线长.所以该几何体的体积是,表面积是. 14. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； ③余弦函数y=f（x）可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是　    　（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①②④ 【考点】2K：命题的真假判断与应用；3O：函数的图象． 【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可． 【解答】解：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，注意函数是奇函数，即可得到结果．①是“优美函数”． ②函数f（x）=ln（x+）可以是某个圆的“优美函数”； 因为函数f（x）=ln（x+）是奇函数，满足优美函数的定义，所以②满足题意； ③余弦函数y=f（x）=cosx是偶函数，不可以同时是无数个圆的“优美函数”；所以③不正确． ④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）是奇函数，它的图象是中心对称图形．所以④满足题意． 故答案为：①②④． 15. 若，且为纯虚数，则a的值是          参考答案： 略 16. 实数x、y满足约束条件的取值范围为　　． 参考答案： [] 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（3，1）， 联立，解得B（1，2）． 的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率． ∵， ∴的取值范围为[]． 故答案为：[]． 17. 已知（为自然对数的底数），函数，则__________. 参考答案： 7 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱中，已知⊥侧面，，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 参考答案： （1）证明见解析；（2）． 试题分析：（1）由得出,利用余弦定理算出,满足勾股定理,所以,由线面垂直的判定定理证明平面；（2）先求出三棱锥的体积,利用等体积法求出点到平面的距离． 试题解析：（1）因为，侧面，故， 在△中，，，， 由余弦定理得： ， ∴，故，所以， 而， ∴平面． （2）∵， 又，，， ∴， 设点到平面的距离为， ∴， ∴，∴点到平面的距离为． 考点：1.线面垂直的判定定理；2.等体积法求点到面的距离. 19. .函数（其中）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值. 参考答案： （1）函数定义域是，， （i）当时，，当时，函数的单调递减区间是； （ⅱ）当，的两根分别是，， 当时.函数的单调递减.当时，函数的单调速递增，当时，函数的单调递减； 综上所述，（i)当时的单调递减区间是， （ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和 （2）当时，，即， 设，∴， ∴当时，， 设，则，∴在递增， 又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线， 且， ∴使得，即， 当时，；当时，； ∴函数在单调递减，在单调递增， ∴， ∵在递减， ∵，∴， ∴当时，不等式对任意恒成立， ∴正整数的最大值是3. 20. （10分）（2014?黑龙江）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]． （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标