广东省湛江市吴川梅菉中学高三数学文联考试题含解析

广东省湛江市吴川梅菉中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则（） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 参考答案： A 【分析】 由等差数列的性质即可求解 【详解】,故 故选：A 【点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基础题 2. 某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为 A．31200元         B．36000元        C．36800元        D．38400元 参考答案： C 3. 已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（   ）         参考答案： C 略 4. 化简的结果是(     ) A．﹣cos1 B．cos 1 C．cos 1 D． 参考答案： C 【考点】二倍角的余弦． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角间三角公式的综合应用，属于基本知识的考查． 5. 我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形。根据上述作法，可以求出cos36°= A．B．     C．     D． 参考答案： B 不妨假设，则，故 6. 已知集合 ，则M∩N=（    ） A. [0,1] B. [1,2) C. [1,2] D. [0,2) 参考答案： B 【分析】 化简集合和集合，根据集合的交集计算即可. 【详解】由得 ，所以，由得，所以， 故，所以选B. 【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的交集运算，涉及函数定义域的相关知识，属于中档题. 7. 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集是（　　） A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0）∪（0，） D．（0，） 参考答案： C 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；62：导数的几何意义． 【分析】f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（﹣x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出． 【解答】解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）． 对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x）， ∴xf′（x）+2f（x）＞0， ∵g（x）=x2f（x）， ∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0． ∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）在（﹣∞，0）递减； 由不等式g（x）＜g（1﹣x）， ∴或， 解得：0＜x＜，或x＜0 ∴不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}． 故选：C． 8. 设tan（α+β）=，tan（β﹣）=﹣，则tan（α+）的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]的值． 【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=﹣， 则tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]= = =， 故选：B． 9. 已知i为虚数单位，若，则 A. 0 B.l   C.-1 D.2 参考答案： B 10. 命题不等式①的解集为；  命题：“A=B”是“”成立的必要非充分条件，则 A. 真假       B.为真      C.为假       D. 假真 参考答案： 答案:A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：________． 参考答案： 0 略 12. 若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为        ． 参考答案： 13. 下表给出一个“直角三角形数阵” 参考答案： 14. 二项式的展开式中含x项的系数为　　． 参考答案： 70 【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x项的指数为1求出r的值，再计算含x项的系数． 【解答】解：二项式的展开式中， 通项公式为Tr+1=??=?， 令4﹣=1，解得r=4； 所以展开式中含x项的系数为=70． 故答案为：70． 15. 若函数在R上单调递增，实数的取值范围为___________. 参考答案： 略 16. 二项式的展开式中的系数为60，则实数m等于__________. 参考答案： 17. 在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题： 1         如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是DABC的垂心； 2         如果点P到DABC的三个顶点的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是DABC的内心； 3         如果棱PA和BC所成的角为60°,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1; 4         如果三棱锥P-ABC的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影（投影线垂直投影面）的面积都不大于; 其中正确命题的序号是____________. 参考答案： ①③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=mex﹣x﹣2（其中e为自然对数的底数） （1）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围； （2）若f（x）的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，求的值域． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）问题转化为，令，根据函数的单调性求出m的范围即可； （2）令x2﹣x1=t（t＞0），得，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的极值即可． 【解答】（1）解：由f（x）＞0得mex﹣x﹣2＞0， 即有，令，则， 令u'（x）＞0?x＜﹣1，u'（x）＜0?x＞﹣1， ∴u（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减， ∴u（x）max=u（﹣1）=e，∴m＞e． （2）由题意，，， 令x2﹣x1=t（t＞0），，又， ∴g（t）在（0，+∞）上单调递减， ∴g（t）＜g（0）=0，g（t）∈（﹣∞，0）， ∴的值域为（﹣∞，0）． 19. 在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）. （1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程； （2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值. 参考答案： （1）曲线的参数方程为（为参数）     曲线的普通方程为    （2）设曲线上任意一点，点到的距离              ∵   ∴        所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为 20. Sn为数列{an}的前n项和，，且. (I)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： 解:(I)由    ①得   ② ②-①得整理得 (Ⅱ)由可知 则   21. 在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a= , . (Ⅰ)若b= ，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2,求边b的长。 参考答案： (Ⅰ) （Ⅱ）4 解析：（I）由正弦定理 ，得 ，解得 . . ………………………2分 由于 为三角形内角， ，则 ，         ………………4分 所以，                   . . . ………………………5分 （II）依题意， ，即，整理得 . …………7分 又 ，所以.                ………………………10分 另解： 由于 ,所以，解得 ,       ……………7分 由于 ，所以，                       . . . . ………………………8分 由 ，所以 . 由勾股定理 ，解得.                . ………………………10分.   略 22. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）． （Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M﹣BCD的体积； （Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）取AM的中点N，连接DN．由已知结合面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCM．求出DN，然后利用等积法求得三棱锥M﹣BCD的体积； （Ⅱ）假设AE⊥BM，结合（Ⅰ）利用反证法证明． 【解答】（Ⅰ）解：取AM的中点N，连接DN． ∵AB=2AD，∴DM=AD，又N为AM的中点， ∴DN⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，又平面ADM∩ABCM=AM，DN?平面ADM， ∴DN⊥平面ABCM． ∵AB=2，∴AD=1，AM=，则， 又， ∴VM﹣BCD=VD﹣BCM=； （Ⅱ）证明：假设AE⊥BM． 由（Ⅰ）可知，DN⊥平面ABCM，∴BM⊥DN． 在长方形ABCD中，AB=2AD， ∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形，∴BM⊥AM． 而DN、AM?平面ADM，DN∩AM=N， ∴BM⊥平面ADM． 而AD?平面ADM， ∴BM⊥AD． 由假设AE⊥BM，AD、AE?平面ABD，AD∩AE=A， ∴BM⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BM⊥AB， 这与已知ABCD是长方形矛盾， 故AE不可能与BM垂直．