湖北省武汉市大集中学高三数学理模拟试题含解析

湖北省武汉市大集中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+∞）上单调递减的函数是（    ）    A．y=x3             B．y=         C．y=2|x|            D．y=cosx 参考答案： B 略 2. 抛物线的焦点坐标为                                                                                                        （    ）          A．（1，0）    B．（2，0）    C．（0，1）     D．（0，2） 参考答案： C 3. 执行下面的程序框图，若输出的S的值为63，则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】执行框图如下： 初始值：， 第一步：，此时不能输出，继续循环； 第二步：，此时不能输出，继续循环； 第三步：，此时不能输出，继续循环； 第四步：，此时不能输出，继续循环； 第五步：，此时不能输出，继续循环； 第六步：，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.   4. 下列判断正确的是（   ） A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“且”为真命题 B. 命题“若，则”的否命题为“若，则” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“对任意成立”的否定是“存在，使成立”. 参考答案： D 5. 设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（     ） A、3　　　    B、2          C、1     D、0                     参考答案： C 6. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（　　） A．f（x）在（0，）单调递减 B．f（x）在（，）单调递减 C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案． 【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）． 由T=，得ω=2． ∴f（x）=2sin（2x+φ﹣）． 又f（﹣x）=f（x），∴sin（﹣2x+φ）=2sin（2x+φ﹣）． 得﹣2x+φ=2x+φ﹣+2kπ或﹣2x+φ+2x+φ﹣=π+2kπ，k∈Z． 解得φ=，k∈Z． ∵|φ|＜，∴φ=． ∴f（x）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x． 则f（x）在（0，）单调递增． 故选：C． 7. （2015?威海模拟）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 参考答案： B 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可． 解答： 解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=， 所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1） =f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1． 故选：B． 点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力． 8. 下列结论正确的是 A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2 B．当x≥2时，x＋的最小值为2 C．当x>0时，＋≥2     D．当00；选项B中最小值为2时x＝1；选项D中的函数在(0,2]上单调递增，有最大值；只有选项C中的结论正确．   9. 已知数列是等差数列，且=  （       ）   参考答案： A 略 10. 设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（　 　） 　 A． 6 B． C． 8 D． 9 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数z满足，则复数z的模是                  ． 参考答案： 12. 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为　　． 参考答案： 16π 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积． 【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形， 设AA1=2a，E为AA1的中点， 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a）， 则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a）， 若OA⊥平面BDE，则 ，即， 即a2﹣2=0， 解得a=， ∴球O的半径R满足：2R==4， 故球O的表面积S=4πR2=16π， 故答案为：16π． 13. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________． 参考答案： 【分析】 由求导公式和法则求出，由题意可得在区间上恒成立，设，从而转化为，结合变量的范围，以及取值范围，可求得其最大值，从而求得结果. 【详解】，则， 因为函数在上单调增，可得在上恒成立， 即，令，则，， 所以，因为在上是增函数， 所以其最大值为， 所以实数的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上是增函数，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有导数与单调性的关系，恒成立问题向最值问题转换，注意同角的正余弦的和与积的关系. 14. 根据图3所示的程序框图，若，则输出的V值为　　　　   ． 图3 参考答案： 32； 该框图是求多项式当时的值，依题意知，故输出的ｖ值为. 15. 已知. 若，则与夹角的大小为             . 参考答案： 16. 已知，则的值为                 参考答案： 17. 已知，则=______________.   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=，g（x）=ex﹣2 （Ⅰ）求函数r（x）=x+x2f′（x）﹣2在区间（0，+∞）上的最小值 （Ⅱ）是否存在实数k，使得对?x∈（0，e]，f（x）≤k（x﹣1）≤g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由． 参考答案： 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算． 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）由已知求得r（x），再对r（x）求导得到其单调区间，由单调性求得其在（0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，可得．然后讨论在（0，e]上恒成立时k的取值．构造函数h（x）=ex﹣2﹣x+1，利用导数求得在（0，e]上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，得到ex﹣2≥x﹣1．可得当（0，e]时，对于k（x﹣1）≤g（x），在k=1时成立．由此可得存在唯一的k=1，使结论成立． 解答： 解：（Ⅰ）由得r（x）=x﹣1﹣lnx， ∴． ∴当0＜x＜1时，r′（x）＜0，当x＞1时，r′（x）＞0． ∴r（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增． ∴rmin=r（1）=0； （Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，∴． 讨论在（0，e]上恒成立时k的取值． ①当1＜x≤e时，由，得恒成立， ∵在（1，e]上单调递减，∴， 又恒成立，∴k≥1； ②当0＜x＜1时，由，得恒成立， ∵在（0，1）上单调递减，∴， 又恒成立，∴k≤1； ③当x=1时，无论k取何值都恒成立， 由①②③可得k=1． ∴由恒成立可得k=1． 设h（x）=ex﹣2﹣x+1，则h′（x）=ex﹣2﹣1， 令h′（x）=ex﹣2﹣1=0，解得x=2． 当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，e]时，h′（x）＞0， ∴在（0，e]上h（x）min=h（2）=0， 即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，∴ex﹣2≥x﹣1． ∴当（0，e]时，对于k（x﹣1）≤g（x），在k=1时成立． 综上所述，存在唯一的k=1使结论成立． 点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题． 19. （12分） 已知函数 （1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （2）设，若函数存在两个零点，且实数满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由. 参考答案： 解：（1） 由题意，知恒成立，即．       又，当且仅当时等号成立． 故，所以．  （2）设在的切线平行于轴，其中 结合题意，有                          ①—②得 所以由④得 所以⑤                        设，⑤式变为 设， 所以函数在上单调递增， 因此，，即 也就是，，此式与⑤矛盾．所以在处的切线不能平行于轴．              略 20. 本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#] （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~] 参考答案： （1）由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得             的分布为   X 1 1.5 2 2.5 3 P X的数学期望为      . （Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则   . 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以           . 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计