湖北省宜昌市葛洲坝西陵中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省宜昌市葛洲坝西陵中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则 A.                B.                C.                 D. 参考答案： A ， ∴，， ∴ ． 故选A．   2. 函数图象可能为(    ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由函数定义域，函数为奇函数，，结合分析即得解. 【详解】函数定义域：，在无定义，排除C， 由于，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B， 且，故排除D 故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题. 3. 若=(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】对数的运算性质． 【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案． 【解答】解：∵x=log43 ∴4x=3 又∵（2x﹣2﹣x）2=4x﹣2+=3﹣2+= 故选：D 【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3，属于基础题． 4. 已知a,b是两个互相垂直的向量，|a|=1，|b|=2，则对任意的正实数t，的最小值是 A．2 B． C．4 D． 参考答案： A 5. 函数f（x）=x2﹣lnx的递减区间为（　　） A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x﹣=， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故函数f（x）在（0，1）递减， 故选：B． 6. 已知向量的最小值为          A．2                                B．                        C．6                                 D．9 参考答案： C 略 7. 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则(    ) A．     B． C．     D． 参考答案： C 8. 记全集，集合，集合，则（    ） A. [4,+∞) B. (1,4] C. [1,4) D. (1,4) 参考答案： C 【分析】 求得集合或，，求得，再结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，全集，集合或， 集合， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9. 定义域为R的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，现给出如下函数： ①②③④ 其中为“H函数”的有（  ） A.①②   B.③④   C. ②③    D. ①②③   参考答案： C 略 10. 集合，的子集中，含有元素0的子集共有（　　） A．2个　　B．4个　　C．6个　　D．8个   参考答案： 解：的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若与垂直，则m的值为　　． 参考答案： ﹣1 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】平面向量及应用． 【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值． 【解答】解：由=（1，3），=（﹣2，m），所以， 又由与垂直，所以1×（﹣3）+3×（2m+3）=0，即m=﹣1． 故答案为﹣1． 【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题． 12. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为　　，单调增区间为　　，=　　． 参考答案： 2π, [2kπ﹣，2kπ+],. 【考点】： 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法． 【专题】： 三角函数的图像与性质． 【分析】： 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论． 解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+）， 则函数的周期T==2π， 由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z， 解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z， 故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]， f（）=sin（+）=sin==， 故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，． 【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键． 13. 设函数f（x）是定义在R上以2为周期的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=log2（4x+1），则f（）=　　． 参考答案： ﹣2 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先利用函数的周期性、奇偶性，把自变量转化到所给的区间[0，1]，即可求出函数值． 【解答】解：∵函数f（x）最小正周期为2，∴f（）=f（﹣4）=f（﹣）， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣）=﹣f（）， ∵当0≤x≤1时，f（x）=log2（4x+1）， ∴f（）=log2（4×+1）=log24=2， ∴f（）=﹣f（）=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性及函数值，充分理解以上有关知识是解决问题的关键． 14. 已知实数,满足条件 则的最大值为      ． 参考答案： 【知识点】简单的线性规划的应用.    E5 【答案解析】  解析：画出可行域如图:令，即，平移曲线 知，当曲线过点B（1，1）时z最大，且最大值为. 【思路点拨】画出可行域，令目标函数，则，平移曲线 知，当曲线过可行域的顶点B（1，1）时z最大，且最大值为. 15. 若变量满足约束条件的最小值为，则k=________. 参考答案： -1 16. 已知α，β∈，sn(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________. 参考答案： － 17. 若函数在区间上的最大值为4，则的值为_________.  参考答案： 1或–1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM． （Ⅰ）证明：BM∥平面PAD； （Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，推导出MO∥PD，AD∥BO，由此能证明BM∥平面PAD． （2）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PBC的距离． 【解答】证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO， ∵四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM， ∴MO∥PD，OD=，∴ODAB，∴AD∥BO， ∵AD∩PD=D，BO∩MO=O，AD、PD?平面ADP，BO、MO?平面BOM， ∴平面ADP∥平面BOM， ∵BM?平面BOM，∴BM∥平面PAD． 解：（2）∵AD=2，PD=3，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3， ∴BD==，∴BD2+AB2=AD2， 以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴， 建立空间直角坐标系， B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0）， =（），=（），=（0，3，﹣3）， 设平面PBC的法向量=（x，y，z）， 则，取x=2，得=（2，3，3）， ∴点D到平面PBC的距离d===． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19. (本小题满分12分) 在四边形ABCD中，，，， ，在方向上的投影为8； （1）求的正弦值；（2）求的面积. 参考答案： 解：（1），， 在中，，，，，， 在方向上的投影为8，，， ， （2），，    略 20. (本题14分)设函数有两个极值点,且.   (1)求实数的取值范围；   (2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由. 参考答案： 解:(1)由可得.       令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………7分    (2)由可知,,从而易知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.       ①由在上连续、单调递增,且,以及,故方程在有且只有一个实根；       ②由于在上单调递减,在上单调递增,因此在上的最小值,故方程在没有实数根.    综上可知,方程有且只有一个实数根.   略 21. (12分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1 =3，且a1，a2，a4成等比数列. （I）求{an}的通项公式； (II)数列{ }是以a1为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和Sn 参考答案： （Ⅰ）设的公差为，由题意，，即………………………2分 于是 因为，且，所以. …………………………………………………4分 故.       ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，……………………………………………………………6分 又数列是以为首项，为公比的等比数列，则，  ………7分 所以，即.     ………………………………………………………8分 因此① 则② ……………………………………………10分 由①-②得 因此.   ……………………………………………………………………12分 22. 已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，G、H是抛物线上的两点，|GF|+|HF|=3，线段GF的中点到y轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）如果过点P（m，0）可以作一条直线l，交抛物线于A、B两点，交圆（x﹣6）2+y2=4于C、D（自上而下依次为B、D、C、A），且+=+，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由抛物线定义知： +=，得p=，即可求出抛物线的方程； （2）由+=+得﹣=﹣，即=，可得x1+x2=x4+x3，分类讨论，即可求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由抛物线定义知： +=，得p=… 故抛物线的方程为y2=x… （2）由+=+ 得﹣=﹣，即=… 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 则=（x1﹣x3，y1﹣y3），=（x4﹣x2，y4﹣y2）， 所以x1﹣x3=x4﹣x2，即x1+x2=x4+x3… ①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=m，此时只需点P（m，0）在圆内即可， 故（m﹣6）2＜4，解得4＜m＜8… ②当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣m）（且m≠0） 代入抛物线方程得：k2x2﹣（2mk2+1）x+m2k2=0… 因为直线l