广东省云浮市田家炳中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析

广东省云浮市田家炳中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（　　） A．或 B．或 C． D． 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由已知式子可得数列{an}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得． 【解答】解：∵，∴S8=17S4， ∴=16，∴公比q满足q4=16， ∴q=2或q=﹣2， ∴等比数列{}的首项为1，公比为±， 当公比为时，数列{}的前5项和为=； 当公比为﹣时，数列{}的前5项和为= 故选：A 【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题． 2. 已知函数f（x）=x+a，g（x）=x+，若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（　　） A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4 参考答案： C 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x+a在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）=x+在x2∈[1，4]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论． 【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增， f（1）=1+a是函数的最小值， 当x2∈[1，4]时，g（x）=x+，在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数， ∴g（2）=4是函数的最小值， 若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）， 可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值， 即1+a≥4， 解得：a∈[3，+∞）， 故选：C． 　 3. 若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（　　） A．＞ B．＞0 C．a2＜b2 D．a3＜b3 参考答案： C 【考点】不等式的基本性质．  【专题】不等式． 【分析】根据幂函数的单调性即可判断． 【解答】解：∵b＜a＜0， 且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减， 故a2＞b2，C错误； 故选：C． 【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用． 4. 若方程在内有解，则的图象是（  ） 参考答案： D A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确； B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确； C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确； D：与直线y=2在（-∞，0）上有交点，故正确．  故选D． 5. 在下列各数中，最大的数是（       ） A．          B．C、C                D． 参考答案： B 6. 平面向量与夹角为， ，则（    ） A．7             B．          C．           D．3 参考答案： C 7. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（    ）   A.    B.     C.        D. 参考答案： B 略 8. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（     ） A 米   B 米      C 200米   D 200米 参考答案： A 略 9. 已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最大值为 A．            B．           C．8             D．63 参考答案： B 10. 若函数和的定义域、值域都是，则不等式有解的充要条件是（    ） A．                  B．有无穷多个，使得 C．                  D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 由直线,曲线以及轴所围成的封闭图形的面积为________. 参考答案： 略 12. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是        . 参考答案： 【知识点】双曲线椭圆 因为椭圆与双曲线有相同的焦点和,所以又因为是、的等比中项,是与的等差中项,所以，所以代入解得 所以，故答案为： 13. 设成立，可得， 由此推得  　　  ． 参考答案： 14. 已知函数y＝f(x)是R上的偶数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 参考答案： 2－x＋1 15.   某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.   序号 (I) 分组 (睡眠时间) 组中值 (GI) 频数 (人数) 频率 (FI) 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9] 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S的值是________． 参考答案： 6.42 16. 曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则a的取值范围是_______    ___. 参考答案： 17. 有下列四个命题： ①“若，则或”是假命题； ②“”的否定是“” ③当均不等于0时，“不等式与解集相同”是“”的充要条件； ④“全等三角形相似”的否命题是“全等三角形不相似”，其中正确命题的序号是         .(写出你认为正确的所有命题序号) 参考答案： ② 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知长方形ABCD, AB=2, BC=1. 以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.   2) 参考答案： 19. 各项均为正数的等差数列{an}前n项和为Sn，首项a1=3，数列{bn} 为等比数列，首项b1=1，且b2S2=64，b3S3=960． （Ⅰ）求an和bn； （Ⅱ）设f（n）=（n∈N*），求f（n）最大值及相应的n的值． 参考答案： 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差和等比数列的公比，由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，则an和bn可求； （Ⅱ）把等差数列{an}的通项和前n项和为Sn代入f（n）=，整理后利用基本不等式求得f（n）最大值及相应的n的值． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则d＞0， ∴， 依题意：，解得或（舍）． ∴an=2n+1，； （Ⅱ）∵Sn=n（n+2）， ∴f（n）==≤． 当且仅当n=，即n=10时取等号． ∴当n=10时，所求最小值为． 20. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为2，且。 （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）过点作直线交抛物线于，两点,求证: . 参考答案： （Ⅰ）由题设抛物线的方程为：， 则点的坐标为，点的一个坐标为， 2分 ∵，∴， 4分 ∴，∴，∴. 6分 （Ⅱ）设、两点坐标分别为、， 法一：因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为 方程组得， 因为 所以 =0， 所以. 法二：①当的斜率不存在时，的方程为，此时 即有所以.…… 8分 2                                                                                                                                                                                                                                                                     当的斜率存在时，设的方程为 方程组得 所以 10分 因为 所以 所以. 由①②得. 12分 21. 求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数. 参考答案： 解：，所以二项式系数为，系数为 略 22. 已知函数f（x）=+lnx． （1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围； （2）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最大值和最小值． （3）求证：对于大于1的正整数n，． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于即ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分离参数后化为函数的最值即可求解； （2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[，2]上的单调性即可求f（x）在[，2]上的最大值和最小值． （3）由（1）知f （x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0，即f （）=+ln=﹣+ln＞0即可． 【解答】解：（1）解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=， 依题意：对x∈[1，+∞）恒成立，即：ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立， 也即：a对x∈[1，+∞）恒成立， ∴a，即a≥1； （2）（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=． 当x∈[，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上单调递减； 当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增． ∴f（x）在x∈[，2]上有唯一极小值点， 故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0， 又f （）﹣f （2）=﹣2ln2=＞0，∴f （）＞f （2），∴[f （x）]max=f （）=1﹣ln2； （3）由（1）知f （x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0， 即f （）=+ln=﹣+ln＞0，∴ln＞