2022-2023学年广东省江门市白藤中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省江门市白藤中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若α∈，且，则的值等于(　  　) A.         B.             C.   D. 参考答案： D 略 2. 已知P是棱长为1的正方体的表面上的动点，且，则动点P的轨迹长度是      　　　　　　　                 （       ） (A)           (B)            (C)            (D) 参考答案： D 略 3. 已知函数f(x)= ?log 2x，在下列区间中，函数f(x)的零点所在区间为（    ） A、(0,1)         B、(1,2)         C、(2,4)         D、(4,+∞) 参考答案： C 试题分析：因为在定义域内是减函数，且，，根据零点存在定理可知，函数的零点在区间上，故选C. 考点：1.函数与方程；2.零点存在定理；3.函数单调性. 4. 已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=(     ) A． B． C．1 D．2 参考答案： A 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小． 即2x+y=1， 由，解得， 即C（1，﹣1）， ∵点C也在直线y=a（x﹣3）上， ∴﹣1=﹣2a， 解得a=． 故选：A． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是    （A）         （B）     （C）           （D） 参考答案： C 略 6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于(　　) A．1∶2  B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3 参考答案： C 7. “|x－a|＜1且|y－a|＜1”是“|x－y|＜2”(x，y，a∈R)的(　　) A．  充要条件               B．必要不充分条件 C．  充分不必要条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 8. 已知集合,，则中所含元素的个数为（  ） A．6             B．8                 C．10              D．12      参考答案： D 略 9. 若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣ex的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（　　） A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）ex+1 D．y=f（x）ex﹣1 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x） 且x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分别代入下面四个选项， A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正确； B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B错误； C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正确； D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证． 10. 已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（　　） A．有最小值﹣1，最大值1   B．有最大值1，无最小值  C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值 参考答案： ：C 解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象， 它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|； 在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）． 综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分， 因此h（x）有最小值﹣1，无最大值． 故选C． 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法。考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题； 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点，当两点间距离取得最小值时，x的值为_________ .    参考答案： 略 12. 如图，边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为        . 参考答案： 13. 给定，设函数满足：对于任意大于的正整数， （1）设，则其中一个函数在处的函数值为            ； （2）设，且当时，，则不同的函数的个数为            。 参考答案： （1）a(a为整数)；（2）16 本题给出和映射有关的信息，分段函数的应用以及创新思维的能力，难度较大。（1） 由题意得，当k=1时，对于任意大于1的正整数n，；对于n=1时，由于函数f是由正整数集到正整数集的映射，故f(1)可能取任意一个正整数，即此时f(1)=a（a为整数）;(2)由于时，,故f(1),f(2),f(3),f(4)分别可以取2或3两个值；而当n>4时，由于k=4，这时f(n)=n-4,取值是唯一的，故由乘法原理得不同的函数f的个数为 。 14. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件： ① ；② ； ③  当时，恒成立。则          。 参考答案： 1 15. 下列命题： ①函数在上是减函数； ②设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是。 ③已知随机变量服从正态分布，且，则 ④定义运算=，则函数的图象在点处的切线方程是 其中所有正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）. 参考答案： ②③④ 16. 函数的单调增区间为          ． 参考答案： 17. △ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值． 【解答】解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=， ∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======， 则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π， 若A+2B=π， ∵A+B+C=π， ∴B=C，即b=c， 由条件可得a2=2b2，cosA==0， 即有A=，B=C=， ∴A=2B， 则=． 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于，两点，求的值. 参考答案： （1）由已知得：，消去得， ∴化为一般方程为：， 即：：. 曲线：得，，即，整理得， 即：：. （2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得： ，即， 设，两点对应的参数分别为，，则， ∴ . 19. （本小题满分15分） 已知，其中是自然常数，. (Ⅰ)讨论时，的单调性、极值； (Ⅱ)是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案： （Ⅰ），   ∴当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增  ∴的极小值为 。                           ……………6分 （Ⅱ）设存在实数，使（）有最小值3，①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.    ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，，满足条件.  ③当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. 综上，存在实数，使得当时有最小值3.   ……15分 20. 已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|a﹣1＜x＜3a+1}． （1）当a=时，求A∩B； （2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）当a=时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B： （2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2）， B={x|a﹣1＜x＜3a+1}=（﹣，）， ∴A∩B=（1，）， （2）根据条件知，若x∈A，则x∈B，q是p的必要条件 ∴A?B； ∴， 解得≤a≤2， 故a的取值范围为[，2] 【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键． 21. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点． （Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积； （Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1； （Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积； （Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1； （Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D． （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点， ∴BD⊥AC， 由AB=6可知，， ∴． 又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6， ∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6， ∴．                           … （Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC， ∴A1A⊥BD． 又BD⊥AC， ∴BD⊥平面ACC1A1． 又BD?平面BC1D， ∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．                                  … （Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD， 在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点， 所以OD∥AB1， 又OD?平面BC1D，