2022年湖南省衡阳市 县潮江中学高一数学理模拟试题含解析

2022年湖南省衡阳市 县潮江中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则等于（   ） （A）　（B）-  （C）   (D) -   参考答案： B 略 2. 设函数，g(x)=+b+C,如果函数g(x)有5个不同的零点,则(     ) A. b＜-2且C＞0    B. b＞-2且C＜0 C. b＜-2且C=0     D. b≥-2且C＞0 参考答案： C 3. 已知-2与1是方程的两个根，且，则的最大值为（     ） A． -2        B．-4       C.  -6       D．-8 参考答案： B ，得，所以 ， 故选B。   4. 函数的图象恒过 A．（3，1）    B．（5，1）         C．（3，3）      D．（1，3） 参考答案： C 略 5. 已知，则的值等于(        )  A．                     B．              C．                   D． 参考答案： A 6. 已知函数则的值是    A.  B.  C.  D. 参考答案： C 略 7. 图甲所表示的简单组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（    ）    参考答案： C 8. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(    ) A．     B．     C．     D． 参考答案： C 略 9. 函数f（x）=x+log2x的零点所在区间为（　　） A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1] 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果． 【解答】解：∵f（）=﹣2＜0， f（）=+=﹣1＜0， f（）=+﹣2＞﹣1＞0， ∴f（）f（）＜0， 故选：C． 10. 使成立的x的一个变化区间是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先化简已知得，再解不等式即得解. 【详解】由题得. 所以 当时， 因为. 故选： 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设表示不超过x的最大整数，如，对于给定的n∈N*，定义，则当时，函数的值域为　　． 参考答案： 【考点】34：函数的值域． 【分析】将区间分为、=1，所以==4 当=2， ∴==， 故函数C8x的值域是 故答案为： 12. 在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球， 若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红 球的概率是_______（用分数表示）． 参考答案： 13. 已知，α，β都是第二象限角，则cos（α+β）=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可求值得解． 【解答】解：∵，α，β都是第二象限角， ∴cosα=﹣=﹣，sinβ==， ∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=（﹣）×（﹣）﹣×=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 14. 已知幂函数f（x）=xa的图象过点（2，4），则a=　  　．若b=loga3，则2b+2﹣b=　    　． 参考答案： 2，． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】由题意求出a=2，从而求出2b=3，求出代数式的值即可． 【解答】解：∵幂函数y=xa过点（2，4）， ∴2a=4，即a=2， 若b=loga3，则2b=3， 则2b+2﹣b=3+=， 故答案为：2，． 15. 数列{ a n }的前n项和S n =n 2，( n∈N )，则a n =       ，cos 2 a n – 1 + cos 2 a n + cos 2 a n + 1 =         。 参考答案： ( 2 n – 1 )，； 16. 设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是           ． 参考答案： 4 【考点】子集与真子集． 【专题】计算题． 【分析】由题意判断出3是集合B的元素，且是{1，2，3，4}的子集，再由B中元素的个数一一列出集合B的所有情况． 【解答】解：∵A={1，2}，且A∪B={1，2，3}， ∴3∈B，B?{1，2，3}， ∴B={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 故答案为：4． 【点评】本题考察了并集的运算和子集定义的应用，找已知集合的子集时，应按照一定的顺序，做到不重不漏，这是易错的地方． 17. 设函数是奇函数且周期为3，=           ． 参考答案： -1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）求的最小正周期。 （2）求的单调递增区间。 （3）求在区间的最大值和最小值。 参考答案： 略 19. 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a?2x﹣a），其中f（x）是偶函数． （Ⅰ） 求实数k的值； （Ⅱ） 求函数g（x）的定义域； （Ⅲ） 若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的定义域及其求法． 【分析】（I）令f（﹣x）=f（﹣x）恒成立，根据对数的运算性质解出k； （II）令a?2x﹣a＞0，对a进行讨论得出x的范围； （III）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质化简，令2x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围． 【解答】解：（I）f（x）的定义域为R， ∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）恒成立， 即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立， ∴log4=2kx，即log4=2kx， ∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣． （II）由g（x）有意义得a?2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0， 当a＞0时，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2， 当a＜0时，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2． 综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞）， 当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）． （III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a?2x﹣）， ∴log4=log4（a?2x﹣），即2x+=a?2x﹣， 令2x=t，则（1﹣a）t2+at+1=0， ∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点， ∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正数解， （1）若a=1，则+1=0，t=﹣，不符合题意； （2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3． 当a=时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意； 当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意； （3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1， 综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}． 20. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm与195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的中 位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 事件{}，事件{}，求． 参考答案： 解： （1）第六组的频率为,                    所以第七组的频率为 ；    （2）身高在第一组[155,160)的频率为， 身高在第二组[160,165)的频率为， 身高在第三组[165,170)的频率为，ks5u   身高在第四组[170,175)的频率为， 由于， 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则 由得                   所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为                （3）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,则有共15种情况， 因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件包含的基本事件为共7种情况， 故．                                                       由于，所以事件{}是不可能事件， 由于事件和事件是互斥事件，所以         略 21. （1）设x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求证x2＋y2＋z2≥； （2）设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c （a＞0），方程f (x)－x＝0有两个实根x1，x2， 且满足：0＜x1＜x2＜，若x(0，x1)。 求证：x＜f (x)＜x1   参考答案： （1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz                                      ≤3(x2＋y2＋z2)         ∴x2＋y2＋z2≥    （2）令F(x)＝f(x)－x，x1，x2是f(x)－x＝0的根， ∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2) ∵0＜x＜x1＜x2＜     ∴x－x1＜0，x－x2＜0   a＞0 ∴F(x)＞0   即x＜f (x) 另一方面：x1－f (x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x－a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)] ∵0＜x＜x1＜x2＜ ∴x1－x＞0  1＋a(x－x2)＝1＋a x－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0     ∴f(x)＜x1 综上可得：x＜f(x)＜x1 22. 设函数 （1）当时，求函数的值域． （2）若函数是(－∞,+∞)上的减函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 见解析． 解：（）时，， 当时，是减函数， 所以，即时，的值域是． 当时，是减函数， 所以， 即时，的值域是． 于是函数的值域是． （）若函数是上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立： ①当， 是减函数， 于是，则． ②时，是减函数，则． ③，则． 于是实数的取值范围是．