2022-2023学年山东省济南市立志中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年山东省济南市立志中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是公差为正数的等差数列，若，则( ） A. 120           B．105           C．90            D．75 参考答案： B 略 2. 复数（其中i为虚数单位）的虚部是    A．      B．          C．  D． 参考答案： C 略 3. 对a、b∈R，记函数的最小值是（        ） A．0             B．             C．             D．3 参考答案： C 4. 已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=2a+i的模等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出． 【解答】解： ==为纯虚数，∴，解得a=． 则复数z=2a+i=1+i． ∴|z|==， 故选：C． 5. 为求使成立的最小正整数，如果按下面的程序框图执行，输出框中“？”处应该填入           （    ） A．            B．        C．            D． 参考答案： A 略 6. 已知在等比数列中， ，则该等比数列的公比为 A. B. C.2 D.8 参考答案： B 因为，所以，即，选B. 7. （08年宁夏、海南卷理）（    ）    A．             B．         C．            D． 参考答案： 【解析】，选C。 答案：C 8. 函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（     ） （A）向左平移个单位长度     （B）向右平移个单位长度 （C）向左平移个单位长度     （D）向右平移个单位长度 参考答案： C 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．        B．             C．    D． 参考答案： C 10. 函数的部分图像可能是（   ） 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点且满足，点F为CD的中点，若，则________. 参考答案： -7 由题意可知，故. 12. 已知，且复数是纯虚数,则a=        . 参考答案： －2  13. 如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿. 参考答案： 14. 设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为      ． 参考答案： 略 15. （5分）已知函数f（x）=，则f（f（10））的值为　　． 参考答案： ﹣2 【考点】： 对数的运算性质． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用． 【分析】： 根据分段函数的解析式及自变量的取值代入运算即可． 解：f（10）=lg10=1，f（1）=12﹣3×1=﹣2， 所以f（f（10））=f（1）=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】： 本题考查分段函数求值、对数的运算性质，属基础题． 16. =（x，﹣1），=（log23，1），若∥，则4x+4﹣x=          ． 参考答案： 考点：平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题：平面向量及应用． 分析：由∥，可得：2﹣x=3，利用4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2，即可得出． 解答： 解：∵∥， ∴﹣﹣x=0， 化为：2﹣x=3， ∴4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2=﹣2=． 故答案为：． 点评：本题考查了向量共线定理、指数函数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量与向量垂直的概率为        . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．  (I)求角A，B的大小； (II)设函数，求函数的周期及其在[，]上的值域． 参考答案： （Ⅰ）∵，由正弦定理得，即         ………2 ∴或（舍去），，则       …………..4  （Ⅱ）                     …………………………………8       …………………………………………………………..10 19. （本小题满分12分）   已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为． （Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值； （Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析. 令，得，令，得 ∴， ∴为定值，定值是. 考点：直线与圆锥曲线的综合应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质. 【易错点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆与圆锥曲线的位置关系，椭圆的基本性质，综合性比较强，考查逻辑推理以及计算能力，是中档题. 圆锥曲线是高考的一个必考题，也是一个难点，尤其是圆锥曲线与直线的位置关系的考查是一个难点，要能从题找到等式或不等式，找到题中的形的关系，找到参数的关系. 20. (本小题满分12分)已知函数 （I）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围; （II）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且 ，（，） 证明：对任意的正整数n, 当时，有. 参考答案： (Ⅰ) 函数的定义域是　　　　　　　　　 因为所以有所以　………………１分 　　　　　        ………………２分 1.当时，恒成立，所以函数在上单调递减; …３分 2．当时，若函数在其定义域内单调递增， 则有恒成立即 因为所以  且时不恒为0.          ………………４分 若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即 因为所以   综上，函数在定义域内单调时的取值范围是　………５分 （Ⅱ）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以 即所以 所以　　　　　        ………………………………６分 令　说明：此处可有多种构造函数的方法，通 所以……７分　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数 当是偶数时，因为所以　　可参照答案所示　每种情况酌情赋２－３分 所以 所以即函数在单调递减 所以，即　　　　  ………………………９分 当是奇数时，令则 所以函数在单调递减，所以……１０分 又因为时所以 所以即函数在单调递减    ………………１１分 所以，即 综上，对任意的正整数n,当时，有.………………１２分 21. 已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|． （1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围； （2）若f（x）≥2x，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）根据绝对值的意义求出x的范围即可； （2）问题转化为|mx﹣1|≥x﹣1，结合函数的性质得到关于m的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2， 当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号． 故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．… （2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R； x＞0时，由f（x）=x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1， 由y=|mx﹣1|及y=x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1， 解得m≥1，或m≤﹣1． 综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．… 22. 已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）． （1）求a的值； （2）求函数f（x）的单调区间； （3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]?ex，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）先求出函数的导数，得到f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解出即可； （2）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间； （3）问题等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解出即可． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1， 当x=时，得a=f′（）=3×+2f′（）×﹣1， 解之，得a=﹣1．                            （2）∵f（x）=x3﹣x2﹣x+c， ∴f′（x）=3（x+）（x﹣1），列表如下： x （﹣∞，﹣） ﹣ （﹣，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ 所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞）； f（x）的单调递减区间是（﹣，1）．            （3）函数g（x）=（﹣x2﹣x+c）ex， 有g′（x）=（﹣x2﹣3x+c﹣1）ex， 因为函数在区间x∈[﹣3，2]上单调递增， 等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立， 只要h（2）≥0，解得c≥11， 所以c的取值范围是：c≥11． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．