广西壮族自治区贵港市桂平卓外中学高二数学理下学期期末试题含解析

广西壮族自治区贵港市桂平卓外中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a∈R，则“a＜﹣1”是“|a|＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由|a|＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＜﹣1”是“|a|＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 2. 如果数列是等差数列，，则                               （    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： B 3. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　） A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25 参考答案： B 【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25． 第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5， 第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8， 第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15， 第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22， 第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25， 前四组的频数之和为5+8+15+22=50， ∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点， 故2.02比较适合， 故选：B． 【点评】本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数以及众数的定义，比较基础． 4. 若，则的值为（     ） A.        B．       C．       D． 参考答案： A 略 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的的值是(  ) A．8            B．6            C．4      D．3        参考答案： A 略 6. 在中，内角的对边分别为，若，，,则这样的三角形有（    ）   A.0个            B. 两个 C. 一个         D. 至多一个 参考答案： B 略 7. 若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（　　） A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2） 参考答案： B 【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点． 【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2）， 又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）． 故选B 8. 在等差数列{an}中，，且，，成等比数列，则（   ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 参考答案： C 【分析】 由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ， 由成等比数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9. 给出以下四个命题: ①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2; ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0; ③若x=y=0,则x2+y2=0; ④若x,y∈N*,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,那么(　　). A.①的逆命题为真　　　　　  B.②的否命题为真 C.③的逆否命题为假 D.④的逆命题为假 参考答案： A 略 10. 如图21－7所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x的值的集合为(　　) 图21－7 A．{3}            B．{2,3} C．  D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知具有线性相关的两个变量满足：①样本点的中心为；②回归直线方程为.据此预测：时，的值约为___________.   参考答案： 略 12. 已知偶函数在区间上单调递增 且满足，给出下列判断： （1）;                  （2）在上是减函数； （3）函数没有最小值；  （4）函数在处取得最大值； （5）的图像关于直线对称. 其中正确的序号是            . 参考答案： （1）（2）（4） 13. 直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为　　． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】空间角． 【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°， M，N分别是A1B1，A1C1的中点， 如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB， ∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO， ∵BC=CA=CC1， 设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=， MB==， 在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO= ==． 故答案为：． 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 14. =_____________. 参考答案： 15. 已知线段在平面外，两点到平面的距离分别是1和3，则线段中点到平面的距离是____________． 参考答案： 16. 由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是__________． 参考答案： p或q 17. 如图，在边长为2正方体ABCD - A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点B1和满足条件的所有点P构成的图形的面积是_______. 参考答案： . 【分析】 点满足，且在正方体的表面上，所以点只能在面、 面、面、面内。 【详解】取，的中点分别为，连结， 由于，所以四点共面，且四边形为梯形， 因为，所以面， 因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示： 因为正方体的边长为2，所以， 所以梯形为等腰梯形，所以。 【点睛】本题以动点问题为背景，考查空间中线面、线线位置关系、面积的求解运算，解题的关键在于确定点的运动轨迹。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题14分）过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）． (1) 求及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证： 。 参考答案： (1) 解: 由，设直线的斜率为，则. ∴直线的方程为.令，得，                  ……2分 ∴， ∴.∴. ∴直线的方程为.令，得.              ……4分 一般地，直线的方程为， 由于点在直线上，∴. ∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.      ……6分 （2）解：             .   ……8分 .                                                                       ……10分    （3）证明：   ，.        要证明，只要证明，即只要证明.                                                                      ……11分      证法1：（数学归纳法） 2         当时，显然成立； 3         假设时，成立， 则当时，， 而. ∴.∴. 这说明，时，不等式也成立. 由①②知不等式对一切N都成立.                  ……14分 证法2:            .   ∴不等式对一切N都成立.                     ……14分 证法3:令,则, 当时, , ∴函数在上单调递增.∴当时, . ∵N,∴, 即. ∴.∴不等式对一切N都成立    19. 已知等差数列{an}满足a2=2，点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an+2，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上，可得a4+2a6﹣16=0，又a2=2，即∴3a1+13d﹣16=0，a1+d=2，解得a1，d，即可得出． （II）bn=an+2=n+2n．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d， ∵点（a4，a6）在直线x+2y﹣16=0上，∴a4+2a6﹣16=0，又a2=2， ∴3a1+13d﹣16=0，a1+d=2，解得a1=d=1， ∴an=1+（n﹣1）=n． （II）bn=an+2=n+2n． ∴数列{bn}的前n项和Sn=+=+2n+1﹣2． 20. （本小题满分15分）已知函数，且. （1）试用含的代数式表示； （2）求函数的单调区间；w.w.w.k. （3）当时，设函数在处取得极值，记点 ，证明：线段与曲线存在异于、的公共点. 参考答案： （1）依题意，得 由得----------------------------------------------1分 （2）由（1）得 故-------------------------------------3分 令，得或 ①当时， 当变化时，与的变化情况如下表： + — + 单调递增 单调递减 单调递增 --------------5分 由此得，函数的单调增区间为和， 单调减区间为---------------------------------------------------------6分 ②当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为；-----------------------------------------------------------7分 ③当时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为；-------------------------------------