2022年江苏省常州市第四中学高三数学理月考试题含解析

2022年江苏省常州市第四中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（    ） A．       B．      C．           D． 参考答案： B 略 2. 给定命题:若，则；命题:已知非零向量则 “”是“”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是 （      ） A．                      B．         C．                    D． 参考答案： D 3. 执行如图所示的程序框图，任意输入一次 与   ，则能输出数对(x，y)的概率为    (  )   A．              B．   C． D． 参考答案： B 略 4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 设共同的焦点为，，设，，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：设共同的焦点为，， 设，， 由椭圆和双曲线的定义可得，， 解得，， 在中，， 可得， 即为， 即有， 即为， 由， 可得，当且仅当时，取得最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 5. 已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=πx，x∈A}，则A∩B=（　　） A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．{0，1} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B． 【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=πx，x∈A}={，1，π}， ∴A∩B={1}， 故选：C． 6. 在△ABC中，，，则角C=（   ） A． B．           C．或      D． 参考答案： D 在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.   7. （5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论． 解：因为∠PAQ=60°且=3， 所以△QAP为等边三角形， 设AQ=2R，则OP=R， 渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM= 由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2， 所以（ab）2=3R2（a2+b2）① 在△OQA中，=，所以7R2=a2② ①②结合c2=a2+b2，可得=． 故选：B． 【点评】： 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 8. 等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（　　） A．14 B．18 C．21 D．27 参考答案： A 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6 【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3 解方程可得，a1=2，d=1 ∴a1a6=2×7=14 故选：A 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 9. “命题p或q为真”是“命题p且q”为真的（     ）条件 A．充分   B．必要   C．充要   D．既不充分也不必要 参考答案： B 10. 已知点表示N除以m余n，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（   ） A． 求被5除余1且被7除余3的最小正整数         B．求被7除余1且被5除余3的最小正整数 C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数          D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_________________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程； 方程与代数/不等式/基本不等式. 【试题分析】如图，设由题意得，，，所以直线的方程为，化为一般式方程为，所以, 所以 ，当且仅当，即时取等号，因为恒成立，所以，,所以的最大值为，故答案为. 图 cna2 12. 如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为          。 参考答案： 2 13. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.则函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)(x∈[－2,2])的最大值等于________．(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法) 参考答案： 6 由定义知，，f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为6.   14. 若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________． 参考答案： a≥0 15. （04年全国卷IV理）函数的最大值等于         . 参考答案： 答案：  16. 有下列命题：①圆与直线，相交； ②过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= 8 ③已知动点C满足则C点的轨迹是椭圆； 其中正确命题的序号是___       _____ 参考答案： ② 17. 如图，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面P平面，为直角，，B为OC的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是________． 参考答案： 【分析】 根据题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数，求出二次函数在某区间上求值域即可。 【详解】在直角三角形中，过点作边上的高交于， 直角三角形所在平面与平面交于，平面平面， 平面， 在平面内过点作边的垂线，所以，，， 以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 为直角，,为的中点，且, ,, ,, ，，，，，， ，，， 又 ，则 ，即， 化简即可得到： ，由于，则 ，所以 ， ， 把 代入即可得到：， 当，的范围为 ，所以的取值范围是， 故答案为。 【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，求出各点坐标，表示出题目所求即可。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设． (Ⅰ)若，讨论的单调性； （Ⅱ）时，有极值，证明：当时， 参考答案： 19. （12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点， (Ⅰ)求证：FH∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B—DEF的体积； 参考答案：     略 20. 设函数 (Ⅰ)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； （II）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围． 参考答案： 略 21.     已知函数　．     (I)若a=1，求函数f(x)在[m，m+l]上的最大值； (Ⅱ)当l≤a≤e+l时，求证: 参考答案： 略 22. 已知定义在R上的二次函数满足，且的最小值为0，函数，又函数。 （I）求的单调区间； （II）当≤时，若，求的最小值； （III）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（），当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴，并说明理由。 （参考数据：e=2.71828…） 参考答案： 解：（I） 可得 又在x=0时取得最小值0， 令 当x变化时，，的变化情况如下表： （0，） （，＋） ＋ 0 － 增函数 极大值 减函数 所以，的单调递增区间是（0，），的单调递减区间是（，＋）。                                                                                …………………………………………5分 （II）≤时，≥1，      时，的最小值为与中的较小者.  ……………………7分 又 ≤时，的最小值；   当时， 的最小值  ……………………9分 （III）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以       令       由（I）知在（0，2）内单调递增，       故                     …………………………………………11分       取则       所以存在       即存在 所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴.                                                                        ………………………………………………14分