2022年福建省福州市蓼沿中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年福建省福州市蓼沿中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在，边所对的角分别为，若，，b=1，则a= A. B. C. D. 参考答案： 【知识点】解三角形C8 【答案解析】A  由题意得，0＜A＜π，sinA＞0．故sinA==， 由正弦定理知，?a=sinA×=×=． 故答案为：A． 【思路点拨】角A为三角形内角，故0＜A＜π，sinA＞0，从而可求sinA=，所以由正弦定理可求a= ． 2. 已知cosα=1，则sin（α﹣）=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： C 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【解答】解：∵cosα=1，可得：sinα=0， ∴sin（α﹣）=sinαcos﹣cosαsin=﹣1×=﹣． 故选：C． 3. 已知．满足约束条件，则的最小值为 A．     B．      C．     D． 参考答案： A 4. 已知集合，，则A∪B= A. [0,+∞) B. [1,+∞) C. D. 参考答案： B 【分析】 一元不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案． 【详解】=，则 故选：B 【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题． 5. 的值为 （    ）        B.          C.        D.-     参考答案： 答案：D 6. 在长方体中，，点是的中点，那么异面直线与所成角余弦值为（   ） （A）   （B）  （C）  （D） 参考答案： D 7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则(    ) A．23    B．32   C．35   D． 38 参考答案： C 8. 的展开式中，常数项为(    ) A．－15             B．16         C．15  D．－16 参考答案： B ∵（）?（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16   9. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是      (      ) A．p为真            B．﹁q为假          C．p∧q为假        D．p∨q为真 参考答案： C 10. 按下面的流程图进行计算.若输出的，则输出的正实数值的个数最多为（ ） A．5         B．4       C. 3         D．2 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列几个命题： ①方程有一个正实根，一个负实根，则； ②函数是偶函数，但不是奇函数； ③设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称； ④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是． 其中正确的有______________. 参考答案： ①④ 12. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为          ． 参考答案： 4 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ）， 把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ）， 根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合， 故 +φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题． 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且△ABC的面积为，则ab最小值为_______． 参考答案： 48 【分析】 根据条件和余弦定理，求得，进而可得。结合三角形面积公式，可得，代入条件式可得 的关系，结合不等式即可求得的最小值。 【详解】在中，结合余弦定理 可得 所以 由三角形面积公式，可得代入化简可得 代入中可得 因为 所以 解不等式可得 所以最小值为 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题。 14. 已知，,,则           . 参考答案： 因为，所以，即，又。 15. 图是某算法的流程图，其输出值a是＿＿＿＿＿ 参考答案： 略 16. 一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；   ，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是    ． 参考答案： 17. 已知定义在上的函数 ，该函数的值域是          ； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数． （1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值； （2）求函数的单调区间． 参考答案： 解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依题意得=6－6a=0，解得a=1．        所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下： x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1； 当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0． （2）∵=6x2－6ax=6x（x－a）， ∴①当a=0时，=6x2≥0，函数f（x）在（－￥，+￥）上单调递增；        ②当a>0时，=6x（x－a），、f（x）随x的变化情况如下表： x （-∞，0） 0 （0，a） a （a，+∞） f′（x） + 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗        由上表可知，函数f（x）在（－￥，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+￥）上单调递增；        ③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－￥，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+￥）上单调递增．        综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，+￥）；        当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，0）和（a，+￥），单调递减区间是（0，a）；        当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－￥，a）和（0，+￥），单调递减区间是（a，0）． 19. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，且，求边； （3）若，求周长的最大值. 参考答案： （1）中，因为，所以，        所以，        所以        所以，        所以. （2）由正弦定理得：，      又，得，所以，所以      又由余弦定理：      所以 （3）由余弦定理：           所以，当且仅当时等号成立.      故，即周长最大值为. 20. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos（θ﹣）=2． （1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设两圆交点分别为A、B，求直线AB的参数方程，并利用直线AB的参数方程求两圆的公共弦长|AB|． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用x=ρcosθ、y=ρsinθ把圆O1，圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程． （2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB的参数方程求两圆的公共弦长|AB|． 【解答】解：（1）圆O1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程x2+y2=4， O2的极坐标方程为，ρ2﹣2ρcos（θ﹣）=2，直角坐标方程x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0； （2）两圆的方程相减，可得直线AB的方程为x+y+1=0，参数方程为（t为参数）， 代入x2+y2=4，可得t2﹣t﹣3=0 ∴|AB|==． 21. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点，其中A点坐标. （1）求的值； （2）若，求B点坐标. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 (1)先求出，再求的值.(2)由题得，解方程组即得点B的坐标. 【详解】由题得， ， 所以=-7. 由题设B(x,y), 因为是钝角，所以,所以点B的坐标为. 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 22. (本题满分12分） 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立. (1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率; (2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望) 参考答案： 【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6 (1) (2) 见解析 解析：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1、P2, 则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)=,2分 解得P2=,3分 乙、丙两人同时能被聘用的概率为P1·P2=∴P1=,5分 因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6分 (2)ξ的可能取值有1、3,7分 则P(ξ+×(1-)×+××(1-)=,8分 P(ξ=3)= (1-)×(1-)×(1-)+××=,9分 因此随机变量ξ的分布列如表所示 ξ 1 3 P 所以随机变量ξ的均值(即数学期望)E(ξ)=1×+3×=.12分 【思路点拨】（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率．（2）ξ的可能取值为1，3．分别求出P（ξ=1）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．