湖南省邵阳市严塘中学2022年高一数学文上学期期末试题含解析

湖南省邵阳市严塘中学2022年高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列{an}是等差数列，若a2=3, a7=13. 数列{an}的前8项和为：(    ) A.  128 B.  80 C.  64 D.  56 参考答案： C 略 2. 已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列， -1,b1,b2,b3, -9五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)的值为              （    ）                                                                                                                   A. 8               B.-8              C.±8           D.    　　 参考答案： B 略 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象   （ ） A．向上平移一个单位                 B．向下平移一个单位 C．向左平移一个单位                 D．向右平移一个单位 参考答案： D 4. 函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（　　） A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1] 参考答案： D 【考点】函数的值域． 【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域． 【解答】解：∵函数y=sinx+tanx在x∈[﹣，]上为增函数， ∴，． 故选：D． 【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题． 5. 若tanα=2，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 参考答案： B 【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化． 【分析】根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案． 【解答】解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得， 故选B． 6. 一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为                                                                         （    ）    A．          B．          C．             D．2 参考答案： B 解析：该三角形不是直角三角形．不妨设． 则，又，所以． 非直角三角形中，有恒等式， 即、是方程的一组正整数解． 所以=2，=3． 易解得最长边为（另外一条边长为）． 7. 函数在上满足，则的取值范围是 （   ） A．    B．  C． D． 参考答案： D 略 8. 的值等于 A．   B． C．   D． 参考答案： A 略 9. 已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2] 参考答案： A 【考点】正弦函数的单调性． 【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数ω的取值范围． 【解答】解：∵ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则， 求得≤ω≤， 故选：A． 10. 已知数列{}对任意的、∈，满足，且=-6，那么等于（　　） A.-165　　　　　B.-33　　　　　　　C.-30　　　　　　D.-21 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是                  参考答案： 12. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是____________． 参考答案： 略 13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为     参考答案： 14. 已知，若函数为奇函数，则______． 参考答案： 【分析】 根据奇函数的定义以及余弦函数的图像和性质即可得到答案。 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得，又因为，所以， 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及及余弦函数的图像和性质，属于一般题。 15. 若锐角△ABC的面积为，则BC边上的中线AD为_________． 参考答案： 【分析】 直接利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定理求出结果． 【详解】解：锐角的面积为，，， 则：， 解得：， 所以：， 所以：， 解得：． 在中， 利用余弦定理：， 在中， 利用余弦定理： 得：， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 16. 若||=1，||=，=+，且⊥，则向量与的夹角为　　． 参考答案：   【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出． 【解答】解：设向量与的夹角为θ， ∵，且， ∴?=（+）?=+=||2+||?||cosθ=0， 即1+cosθ=0， 即cosθ=﹣， ∵0≤θ≤π ∴θ=， 故答案为：． 【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题． 　 17. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围　  　． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用函数f（x）的奇偶性及在[0，+∞）上的单调性， 可把f（x﹣1）＞f（3﹣2x）转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式，从而可以求解． 【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数， 所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）?f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）?|x﹣1|＞|3﹣2x|， 两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0， 解得，所以x的取值范围为 （）． 故答案为：（）． 【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查．解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”，转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）由题意，得 即 ①当时，得，解得； ②当时，得， ∵， ∴解得或； ③当时，得， ∵. 当时，，解得； 当时，，，解集为空集； 当时，，解得； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称. 由题意：. ①若，则在上是增函数，从而 在上的最小值是，最大值是. 由得于是有 解得，∴. 又∵，∴. ②若，此时. 则当时，不恒成立. 综上：使恒成立的的取值范围是. 19. 已知等差数列中，，，数列是等比数列，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。 参考答案： 因为为等差数列，所以设公差为，由已知得到， 解得所以……………………（4分） 因为为等比数列，所以设公比为，由已知得 解这个方程组得  所以，……………………（8分） 于是 ① ② ① —②得 所以 ……………………（12分）   略 20. 函数f（x）=k?a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8） （1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数是奇函数，求b的值； （3）在（2）的条件下判断函数g（x）的单调性，并用定义证明你的结论． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断． 【专题】综合题；待定系数法． 【分析】（1）根据A（0，1），B（3，8）在函数图象，把点的坐标代入解析式列出方程组，求出k、a的值； （2）由（1）求出g（x）的解析式和定义域，再根据奇函数的定义g（x）=﹣g（﹣x）列出关于b的等式，由函数的定义域求出b的值； （3）利用分离常数法化简函数解析式，先判断出在定义域上的单调性，再利用取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，证明函数的单调性． 【解答】解：（1）∵函数的图象过点A（0，1），B（3，8） ∴，解得 ， ∴f（x）=2x （2）由（1）得， ，则2x﹣1≠0，解得x≠0， ∴函数g（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） ∵函数g（x）是奇函数 ∴， ∴ ，即 ， ∴1+b?2x=2x+b，即（b﹣1）?（2x﹣1）=0 对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1   （3）由（2）知， ，且x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞） 当x＞0时，g（x）为单调递减的函数；当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数， 证明如下： 设0＜x1＜x2，则 ∵0＜x1＜x2，∴， ∴g（x1）＞g（x2），即g（x）为单调递减的函数 同理可证，当x＜0时，g（x）也为单调递减的函数． 【点评】本题是函数性质的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式，利用奇函数的定义求值，用定义法证明函数的单调性；注意函数的定义域优先，并且函数的单调区间不能并在一起，这是易错的地方． 21. （本小题满分14分）随机抽取某中学甲、乙两班10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图． （Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差.     参考答案： 22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）求使不等式成立的n的最小值。 参考答案： (1) . (2)15. 试题分析：（1）设出公差d，由已知得到公差和首项的方程组，求出通项公式；（2）Sn＞an是一个关于n的二次不等式，先解出n的范围，然后根据n是正整数，可得其最小值. 试题解析：（1）设{an}的公差为d，依题意， 有． 联立得，解得． ∴an＝－6＋（n－1）·1＝n－7．n∈N* （2）∵an＝n－7，． 令，即， 解得n＜1或n＞14． 又n∈N*，∴n＞14． ∴n的最小值为15． 考点：等差数列通项公式与前n项和，二次不等式