2022年湖南省益阳市南塘中学高二数学文模拟试题含解析

2022年湖南省益阳市南塘中学高二数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，已知曲边梯形ABCD的曲边DC所在的曲线方程为，e是自然对数的底，则曲边梯形的面积是 A. 1               B. e           C.             D. 参考答案： A 2. 如图，已知四棱锥S- ABCD的侧棱与底面边长都是2，且底面ABCD是正方形，则侧棱与底面所成的角为 (A) 75          (B) 60   (C) 45          (D) 30 参考答案： C 3. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据奇偶性以及函数值正负与趋势确定选项. 【详解】∵，且,∴偶函数，故排除B项； 又∵时，;时，，所以排除A,D项； 故选：C． 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题. 4. 过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是(  ▲  ) A.     B.    C.    D. 参考答案： D 略 5. 如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若，则四面体的体积     （      ） A．与都有关 B．与有关，与无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 参考答案： D 略 6. 一个圆的圆心在抛物线y2=4x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，圆心到直线ax+y﹣=0的距离为，则a=（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D． 参考答案： C 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】由题意知圆心C也在线段OF的中垂线上， 由此求出圆心，再利用圆心到直线的距离列方程求出a的值． 【解答】解：由题意知，抛物线的焦点为F（1，0），圆心在线段OF的中垂线x=上， 由，且圆心在第一象限内， 解得x=，y=， 所以圆心C为（，）； 又圆心C到直线ax+y﹣=0的距离为， 所以d==， 解得a=±1． 故选：C． 7. 两直线与互相垂直，则实数为              （   ） A、                B、2             C、-2               D、0  参考答案： A 8. 抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y= D．y= 参考答案： B 【考点】抛物线的标准方程． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程． 【解答】解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为． 故选B． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键． 9. 己知i为虚数单位，复数则复数z的虚部为（    ） A. i B. 1 C. －i D. －1 参考答案： B 【分析】 根据复数的运算法则得，即可得到其虚部. 【详解】由题：，， 所以复数的虚部为1. 故选：B 【点睛】此题考查复数的概念辨析和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，准确识别虚部概念，避免出错. 10. 对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：        ①；        ②，        ③ ④．其中存在“稳定区间”的函数有（    ）        A．①② B．②③  C．③④ D．②④ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。 参考答案： 0.5 12. 已知，那么命题“若中至少有一个不为0，则.”的逆否命题是               . 参考答案： 若,则都为0. 13. 已知关于x的方程x2+ax+2b=0（a∈R，b∈R）的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则的取值范围为　　． 参考答案： （，2） 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，算出k的取值范围即可得出结论． 【解答】解：设f（x）=x2+ax+2b， ∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内， ∴可得． 作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域， 得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）． 其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）， 设点E（a，b）为区域内的任意一点， 则k=，表示点E（a，b）与点D（1，3）连线的斜率． ∵KAD==，kCD==，∴KAD＜k＜KCD， ∴k的取值范围是（，）， 则的取值范围为（，2） 故答案为：（，2）． 【点评】本题着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题． 14. 设x,y满足约束条件，则P=x+y的范围是  ▲   . 参考答案： 15. 计算（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）=        ． 参考答案： 1+i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：由复数的运算法则化简即可． 解答： 解：化简可得（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i） =1﹣i2﹣1+i=1+1﹣1+i=1+i 故答案为：1+i 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 16. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则C1MN =           . 参考答案： 17. 若的展开式的所有二项式系数之和为32,则展开式中的常数项为_________． 参考答案： 10 【分析】 根据二项式系数和得，解得n；写出二项展开式的通项公式，根据x的幂指数等于零解得，代入通项公式可求得常数项. 【详解】展开式的二项式系数和为：，解得： 展开式的通项公式为： 令得： 常数项为： 本题正确结果：10 【点睛】本题考查二项式定理中常数项的求解问题，涉及到二项式系数和的性质、展开式通项公式的应用，属于常考题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R． （1）求函数f（x）的弹道递增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】解三角形． 【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可； （2）f（B）=1，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值． 【解答】解：（1）f（x）=（﹣cos2x）﹣ [1﹣cos（2x﹣）]= sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）， 令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z， 则函数f（x）的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z； （2）由f（B）=1，得到sin（2B﹣）=1， ∴2B﹣=，即B=， 由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤4， ∴S△ABC=acsinB=ac≤， 则△ABC的面积的最大值为． 【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点． （1）证明：A1D⊥平面A1BC； （2）求点B到平面A1ACC1的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）设E为BC的中点，推导出A1E⊥AE，AE⊥BC，从而AE⊥平面A1BC，再推导出A1AED为平行四边形，由此能证明A1D⊥平面A1BC． （2）推导出A1E⊥BC，A1C=A1B，AE=BE，由，能求出B到平面A1ACC1的距离． 【解答】证明：（1）设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥AE． ∵AB=AC，∴AE⊥BC． 又A1E∩BC=E，A1E、BC?平面A1BC 故AE⊥平面A1BC．… 由D，E分别为B1C1、BC的中点，得DE∥B1B，且DE=B1B， 又AA1∥BE，AA1=BE 从而DE∥A1A，且DE=A1A，∴A1AED为平行四边形． 故A1D∥AE，… 又∵AE⊥平面A1BC，∴A1D⊥平面A1BC． … （2）∵A1E⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1E⊥BC 又E为BC的中点，∴A1C=A1B… ∵∠BAC=90°，E为BC中点，∴AE=BE， ∴Rt△A1EA≌RtA1EB，∴A1B=AA1=4，∴A1C=4… ∴△A1AC中AC边上的高为， ∴， 而，… 设B到平面A1ACC1的距离为d 由 得， ∴B到平面A1ACC1的距离为．… 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用． 20. 如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，点D是AB上的动点． （1）求证：； （2）若D是AB上的中点，求证：面； （3）求三棱锥的体积． 参考答案： （1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】 （1）由余弦定理得，由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故； （2）连接交于点，则为的中位线，，得到，从而得到面； （3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算． 【详解】（1）在中，由， 利用余弦定理得，则， ∴为直角三角形，得． 又∵面，∴， 而，∴面，则； （2）设交于点，则为的中点， 连接，则为的中位线，则， 又面，则面； （3）在中，过作垂足为， 由面⊥面，得面， ∴. 而， 在中，由等面积法得， ∴=． 【点睛】本题考查证明线线垂直、线面平行方法，考查三棱锥的体积的求法，求点到面的距离是解题的关键，是中档题． 21. （13分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆G于A、B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为的函数，并求的最大值. 参考答案： （1）由已知得所以椭圆G的焦点坐标为……………………………………………………………………………（2分） 离心率为.………………………………………………………（1分） （2