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广西壮族自治区防城港市民族中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则是( )
A.等腰直角三角形
B.锐角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
参考答案:
A
考点:正弦定理
试题解析:因为显然当时,成立,
所以,是等腰直角三角形
故答案为:A
2. 已知曲线=2 (x≥0,y≥0)和x+y=围成的封闭图形为,则图形绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为
A.π B.(8+4)π C.(8+2)π D.(4+2)π
参考答案:
D
封闭图形为,如图所示:
该几何体的表面积由两个部分组成:
第一部分为半圆的表面积为S1=2πR2,R=,∴S1=4π
第二部分为圆锥的侧面积S2,S2=πRl,R=,l=2
S2=2π,
故S=(4+2)π
故答案为D
3. 当时,不等式恒成立,则的取值范围是
A.[-4,8] B.[-2,8] C.[0,6] D.[4,12]
参考答案:
A
4. 已知命题:“”,命题:“函数在上是增函数”,则命题是的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
参考答案:
A
5. 某程序框图如图所示,若输入的n=10,则输出结果为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,模拟程序的运行,对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.
【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值,
由于S=++…+=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=.
故选:C.
6. 为得到函数,只需将函数 ( ▲ )
A. 向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
参考答案:
C
7. 函数()的图象如右图所示,
为了得到,只需将的图像( )
A、向右平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度
参考答案:
B
略
8. 如图所示,在矩形纸片ABCD 中,AB=6,AD=4,将矩形纸片的右下角折起,使角的顶点B落在矩形的边AD上,且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上,记,线段MN的长度为,则函数的图象大致为( )
参考答案:
A
9. 若,则下列不等式中恒成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 在R上定义运算.若不等式对于实数x恒成立,则实数y的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中
①y=f(x)是奇是函数 ②.y=f(x)是周期函数 ,周期为2 ③..y=f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y=f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .
参考答案:
②③
,,
则,故①错。
,∴,故②正确。
,在是单调递增的周期函数,所以的单
调递增区间为,∴ ,故,无最大值,
故③正确,易知④错。综上正确序号为②③。
12. 在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若则c=___________
参考答案:
,;由正弦定理,得,解得.
考点:正弦定理.
13. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为 .
参考答案:
考点:
等比数列的性质.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.
解答:
解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,
∴an=a1qn﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),
解.
故答案为
点评:
本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.
14. 某林场有树苗3000棵,其中松树苗400棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的棵数为 .
参考答案:
20
略
15. 复数
参考答案:
16. 某学校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为160的样本,则应从高一年级抽取 ▲ 名学生.
参考答案:
48
17. (5分)已知=2,=3,=4,…,若=7,(a、b均为正实数),则类比以上等式,可推测a、b的值,进而可得a+b= .
参考答案:
55
【考点】: 类比推理.
【专题】: 计算题;推理和证明.
【分析】: 观察所给的等式,照此规律,第7个等式中:a=7,b=72﹣1=48,即可写出结果.
解:观察下列等式
=2,=3,=4,…,
照此规律,第7个等式中:a=7,b=72﹣1=48,
∴a+b=55,
故答案为:55
【点评】: 本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2016?邵阳二模)已知函数f(x)=|x﹣1|
(Ⅰ)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)依题意,f(2x)+f(x+4)=|2x﹣1|+|x+3|=,利用分段函数分段解不等式f(2x)+f(x+4)≥8,即可求得其解集.
(Ⅱ)|a|<1,|b|<1, ?f(ab)>|a|f()?|ab﹣1|>|a﹣b|,要证该不等式成立,只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2>0即可.
【解答】(Ⅰ)解:f(2x)+f(x+4)=|2x﹣1|+|x+3|=,
当x<﹣3时,由﹣3x﹣2≥8,解得x≤﹣;
当﹣3时,由﹣x+4≥8,解得x∈?;
当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2…4分
所以,不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分;
(Ⅱ)证明:等价于f(ab)>|a|f(),即|ab﹣1|>|a﹣b|,
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
所以,|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立…10分.
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用,考运算及推理、证明能力,属于中档题.
19. 设函数的定义域为.
(Ⅰ)若,,求实数的范围;
(Ⅱ)若函数的定义域为,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)由题意,得
所以.
故实数的范围为.
(Ⅱ)由题意,得在上恒成立,
则
解得.
故实数实数的范围为.
20. 光泽圣农公司生产一种产品,每年需投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这样的产品,还需增加投入0.25万元,经市场调查知这种产品年需求量为500件,产品销售数量为t件时,销售所得的收入为(0.05t﹣)万元.
(1)该公司这种产品的年生产量为x件,生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x),求f(x);
(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?
参考答案:
【考点】5D:函数模型的选择与应用.
【专题】12 :应用题.
【分析】(1)根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入﹣销售成本,建立函数关系即可;
(2)利用配方法,求得二次函数f(x)=﹣+0.0475x﹣0.5在x=475时取得最大值,即获得的利润最大.
【解答】解:(1)由题意可知,公司生产并销售x件产品的销售收入为(0.05x﹣)万元,
投入固定成本0.5万元,另需增加投入万元.
∴f(x)=0.05x﹣﹣(0.5+)=﹣+0.0475x﹣0.5,(0<x≤500);
(2)由f(x)=﹣+0.0475x﹣0.5=.
∴当x=475时,f(x)max=10.78125.
∴当年产量为475(件)时,当年公司所得利润最大,最大为10.78125万元.
21. (本小题满分13分)已知函数.
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)已知内角的对边分别为,且,若向量与共线,求的值.
参考答案:
(Ⅰ)
∴ 的最小值为,最小正周期为. ………………………………6分
(Ⅱ)∵ , 即
∵ ,,∴ ,∴ . ……8分
∵ 与共线,∴ .
由正弦定理 , 得 ①…………………………………10分
∵ ,由余弦定理,得, ②……………………11分
解方程组①②,得. ………………………………13分
22. (满分12分)已知函数的图象关于原点对称,, 为实数,
(1)求,的值;
(2)证明:函数在上是减函数;
(3)时,不等式恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
解:(1)∵的图象关于原点对称,
∴对一切实数均成立,即
对恒成立,
比较系数,得
(2)由(1)知,,
∴,由,得,
∴函数在上是减函数;
(另证) (设,则
∵
∴,∴,
∴,即,
∴函数在上是减函数;
(3)由(2)知,函数在上是减函数,
∴在区间上,,
∴在区间上,不等式恒成立,就是
成立,又由(1)知
∴,即或,
∴,即的取值范围是。
略
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