河北省邢台市第十五中学高三数学理测试题含解析

河北省邢台市第十五中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55．若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　） 　 A．众数 B． 平均数 C． 中位数 D． 标准差 参考答案： D 略 2. 执行如图所示的程序框图，则输出结果为 A.15 B.16 C.25 D.36 参考答案： C【知识点】算法与程序框图.  L1   解析：循环过程执行的结果依次是：（1）s=1,k=2; (2)s=4,k=3; (3)s=9,k=4; (4)s=16,k=5; (5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴输出S为25.故选C. 【思路点拨】依次写出循环过程执行的结果即可. 3. 有下列四种变换方式： ①向左平移,再将横坐标变为原来的; ②横坐标变为原来的,再向左平移; ③横坐标变为原来的,再向左平移; ④向左平移,再将横坐标变为原来的; 其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（    ） A.①③           B.①②         C.②④         D.①②④ 参考答案： B 4. 已知，，则向量在向量方向上的投影为（　　） A．﹣ B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】先根据向量的垂直得到=﹣，再根据投影的定义即可求出． 【解答】解：∵，， ∴（2+）（﹣2）=2﹣3﹣2=0， ∴=﹣， ∴向量在向量方向上的投影为=﹣， 故选：A． 5. 已知tan（α+）=2，则cos（2α+）=（　　） A． B．﹣ C． D． 参考答案： C 【考点】二倍角的余弦． 【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值可求tanα的值，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求后即可计算得解． 【解答】解：∵tan（α+）==2， ∴tanα=， ∴cos（2α+）=sin2α====． 故选：C． 6. 复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件． 专题：计算题． 分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论． 解答： 解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位， ∴z=====1﹣i， 故复数z对应点的坐标为（1，﹣1）， 故选D． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 7. 设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=(     ) A.  ｛1｝     B. ｛2｝     C. ｛0，1｝   D. ｛1，2｝ 参考答案： D 略 8. 设全集，集合，集合，则（    ） A. B. {1,2,3,4} C. {2,3,4} D. {0,1,2,3,4} 参考答案： C 【分析】 先求，再根据并集定义求结果. 【详解】因为，所以，选C. 【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题. 9. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为                                     （    ） 参考答案： B 10. 函数 是上的减函数， 则的取值范围是(　　) A． B．       C． D． 参考答案： B 据单调性定义，为减函数应满足：即. 答案B   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若x>0，y>0且，则x+y最小值是     参考答案： 略 12. 已知双曲线的左、右焦点 分别为、，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的范围是               . 参考答案： 13. 在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________. 参考答案： 4 14. 已知曲线与直线交于点，若设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为___________． 参考答案： 略 15. 二项式的展开式中常数项是___ __________．（用数字作答） 参考答案： 答案：60_   16. 已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（xm+）dx=　　． 参考答案： ln2+ 【考点】二项式系数的性质；定积分． 【分析】利用二项式定理的通项公式、微积分基本定理即可得出． 【解答】解：（x+y）5的通项公式：Tr+1=， 令5﹣r=1，r=4，解得r=4； 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． （x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m=×1﹣=﹣5， 则（xm+）dx=dx==ln2+． 故答案为：ln2+． 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则周长的最小值为          ． 参考答案： 13 由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长 ，填13.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=． （Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）在C2上求一点M，是点M到直线l的距离最小，并求出最小距离． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】综合题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=化为：ρcosθ+ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵后得到曲线C2， ∴，代入圆C1：x2+y2=1得：， 故曲线C2的直角坐标方程为； 直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=． 即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y﹣10=0， （Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件， 设过M的直线为x+y+C=0， 则由得：13x2+18Cx+9C2﹣36=0， 由△=（18C）2﹣4×13×（9C2﹣36）=0得：C=±， 故x=，或x=﹣，（舍去）， 则y=， 即M点的坐标为（，）， 则点M到直线l的距离d= 【点评】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档． 19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，，E是棱BB1的中点，，F在线段AC上，且. （1）证明：面； （2）若，面面ABB1A1，求二面角的余弦值． 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）连接交于点，连接，利用三角形相似证明，然后证明面． （2）过作于，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标， 不妨设，求出面的一个法向量，面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】解：（1）连接交于点，连接． 因为，所以，又因为，所以，所以， 又面，面，所以面. （2）过作于，因为，所以是线段的中点． 因为面面，面面，所以面．连接， 因为是等边三角形，是线段的中点，所以. 如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标， 不妨设，则，，，，， 由，得，的中点，，. 设面的一个法向量为，则，即， 得方程的一组解为，即. 面的一个法向量为，则， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20. （本小题满分12分） 在中，角的对边分别是，点在直线上，  （1）求角的值； （2）若，求的面积 参考答案： 21. （本题满分14分） 在中，内角的对边分别为，且 ，． （I）求角的大小；（II）设边的中点为，，求的面积． 参考答案： （Ⅰ）由，得，      ……………………1分 又，代入得， 由，得，              ……………………3分 ，     ………5分 得，                          ……………………7分 （Ⅱ），            ……………………9分 ，，则       ……………………11分                 ……………………14分 22. （2017?广安模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行． （Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算． 【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式； （Ⅱ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a， 因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行， 所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1， 所以f（x）=x3﹣x， 设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x， 又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0， 所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点， 等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点． 结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）． 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．