湖南省衡阳市扶轮中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
8.若直线与直线互相垂直,则a等于( )
A.1 B.－1 C.±1 D. －2
参考答案：
C
2. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A. B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 函数f（x）=2sin（x﹣）+1的周期、振幅、初相分别是（ ）
A．4π，﹣2， B．4π，2， C．2π，2，﹣ D．4π，2，﹣
参考答案：
D
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】由函数f（x）的解析式，可以求出它的周期、振幅和初相是什么．
【解答】解：∵函数f（x）=2sin（x﹣）+1，
∴ω=，周期T==4π；
振幅A=2；
初相φ=﹣．
故选：D．
4. 设函数，则函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是方程的根，则[x0]=（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
B
6. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，
则f（-3）等于 （ ）
A.12 B.6 C.3 D.2
参考答案：
B
略
7. 已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．
【专题】计算题．
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，
∴圆心坐标为（3，4），
∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，
又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，
∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，
则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．
故选A
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．
8. 若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式x?f（x）≥0的解集是（ ）
A．{x|﹣3≤x≤3} B．{x|﹣3≤x＜0或0＜x≤3}
C．{x|x≤﹣3或x≥3} D．{x|x≤﹣3或x=0或x≥3}
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，可求得f（3）=0，从而可作出其图象，即可得到答案．
【解答】解：由题意得：∵f（﹣3）=﹣f（3）=0，
∴f（3）=0，又f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当0＜x＜3时，f（x）＜0，当x＞3时，f（x）＞0，
又f（x）为定义在R上的奇函数，f（﹣3）=0，
∴当x＜﹣3时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜0时，f（x）＞0，其图象如下：
∴不等式xf（x）≥0的解集为：{x|x≤﹣3或x=0或x≥3}．
故选：D．
10. 把边长分别是的三角形铁丝框架套在一个半径是球上，那么该球的球心到这个三角形铁丝框架所在的平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列的前项和分别为，，若，则
参考答案：
略
12. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB，A,B为切点，则直线AB的方程是______________．
参考答案：
2x+2y-7=0
13. 已知集合，若，则x=__________．
参考答案：
或0或－3
【分析】
根据集合间的包含关系分情况讨论，分别解出集合中x的值，注意要满足集合间元素的互异性.
【详解】集合，若,则=3,解得，代入检验符合题意，
或者=9,解得,当x=3时，集合A不满足元素的互异性，故x=-3;
或者x=，解得x=1或0，当x=1时集合元素不满足互异性，故x=0.
故或0或-3.
故答案为：或0或－3.
【点睛】这个题目考查了集合间的包含关系，以及集合元素的互异性的应用. 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
14. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则__________．
参考答案：
分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.
详解：根据题意有，所以答案是.
点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.
15. 若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________．
参考答案：
35
由题意知，f(x)＝＋，x∈，
∵2≠3且均为正常数，x∈，
∴1－2x∈(0,1)，
∴＋≥，
当且仅当＝时，即x＝时等号成立，即f(x)≥35.
16. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．
参考答案：
24
【分析】
给乘展开后利用基本不等式即可.
【详解】因为，
（）（）=（6+6+），
故答案为24.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17. 设向量表示“向东走6”，表示“向北走6”，则＝＿＿＿＿＿＿；
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分16分）已知：函数的最小正周期是，且当时取得最大值3。
（1）求的解析式及单调增区间。
（2）若且求
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且是偶函数，求的最小值。
参考答案：
（1）由 ……2分
…………4分
由可得
的单调增区间是………………6分
（2），
………………………9分
又或………………………11分
19. 数列{an}的前n项和为Sn，，且成等差数列．
(1)求的值；
(2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
参考答案：
(1);(2)见解析;(3)[1,+∞).
【分析】
，，又成等差数列，解得，
当时，得到，代入化简，即可证得结果
由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果
【详解】（1）在中
令，得即，① 又 ②
则由①②解得.
（2）当时，由 ，得到
则 又，则
是以为首项，为公比的等比数列，
，即.
（3）当恒成立时，即（）恒成立
设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是.
【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果。
20. （本小题满分10分）
（1）已知数列的前n项和为，若，求
（2）等差数列的前n项和记为，已知，求n.
参考答案：
(1) 当时，；
当时，
由于不适合此式，
所以……………………………5分
(2) 解 由，
得程组解得
所以．
得
解得或(舍去)．……………………………10分
21. （Ⅰ） 化简：；
（Ⅱ） 已知，求的值．
参考答案：
解（Ⅰ）原式
（Ⅱ）可转化为
，解之得：
略
22. 已知集合,,, R．
⑴ 求，(CuA)∩B；
⑵ 如果，求a的取值范围．
参考答案：
解析：⑴ （CuA)∩B={x∣1
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