湖南省衡阳市夏明翰中学2022年高二数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市夏明翰中学2022年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和BB1的中点，则异面直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D． 参考答案： D 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与D1F所成角的余弦值． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A（2，0，0），E（0，2，1），D1（0，0，2），F（2，2，1）， =（﹣2，2，1），=（2，2，﹣1）， 设直线AE与D1F所成角为θ， 则cosθ=||=． ∴直线AE与D1F所成角的余弦值为． 故选D． 2. 已知a，b都是实数，且a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，若a＞b，则lna＞lnb，此时a+lna＞b+lnb成立，即充分性成立， 设f（x）=x+lnx，当x＞0时，f（x）为增函数， 则由a+lna＞b+lnb得f（a）＞f（b），即a＞b，即必要性成立， 则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件， 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合函数的单调性的性质是解决本题的关键． 3. 若是定义域为，值域为的函数，则这样的函数共有（     ） A、128个          B、126个           C、72个             D、64个 参考答案： B 4. 设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为(     ) A．   B． C．   D．4 参考答案： A 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】先由条件求得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d的值，则d减去半径，即为所求． 【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d=，圆的半径r=， 故|PQ|的最小值为d﹣r=， 故选：A． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 5. 已知全集则图中阴影部分表示的集合是 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先由题，可得阴影部分表示的集合为，然后求得集合的补集，再求得最后答案. 【详解】由题可知，阴影部分表示的集合为 因为所以 又因为所以= 故选C 【点睛】本题考查了集合的交并补，分析图像是解题的关键，属于基础题. 6. 已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（，4），则|PA|+|PM|的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 参考答案： C 【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的定义，推出当A、P、M共线时，|PA|+|PM|取得最小值，由此求得答案． 【解答】解：抛物线焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于N，由抛物线定义|PF|=|PN|， ∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5，而|MN|=，∴PA|+|PM|≥5﹣=， 当且仅当A，P，F三点共线时，取“=”号，此时，P位于抛物线上，∴|PA|+|PM|的最小值为：， 故选：C． 7. 水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6m/s的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（   ） A．24π m2/s           B． 36π m2/s     C. 72π m2/s          D．144π m2/s 参考答案： D 由题意可知，水滴接触水面后半径与时间的关系为， 则圆的面积， 对时间求导可得：， 令可得末时圆面积的变化速率为 . 本题选择D选项.   8. 要得到函数y=sin(4x+)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（   ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 参考答案： A 9. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 参考答案： B 【考点】分层抽样方法． 【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果． 【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x， ∵x+2x+160=430， ∴x=90， 即由比例可得该单位老年职工共有90人， ∵在抽取的样本中有青年职工32人， ∴每个个体被抽到的概率是=， 用分层抽样的比例应抽取×90=18人． 故选B． 10. 已知全集,集合,则为（　　） A．        B．       C．       D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数x, y满足约束条件，则的最小值为         ． 参考答案： －5  12. 设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为          。 参考答案： 6 略 13. A．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的动点到直线距离的最大值为         ． 参考答案： 14. 原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为　　． 参考答案：   【考点】点到直线的距离公式． 【分析】直接由点到直线的距离公式得答案． 【解答】解：由点到直线的距离公式可得，原点到直线4x+3y﹣1=0的距离d==， 故答案为：． 　 15. 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数则点的轨迹方程是___      ___。         参考答案： 略 16. 在样本频率分布直方图中，共有个小长方形，若最中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形的面积之和的，且样本容量为，则最中间一组的频数为___    . 参考答案： 32 17. 已知点,自点Ｍ向圆引切线，则切线方程是___________． 参考答案： 和 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 圆C过点M（﹣2，0）及原点，且圆心C在直线x+y=0上． （1）求圆C的方程； （2）定点A（1，3），由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|． ①求|PQ|的最小值及此刻点P的坐标； ②求||PC|﹣|PA||的最大值． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；转化思想；集合思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）由已知求出线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1，与直线方程x+y=0联立，求出圆心坐标，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求； （2）①设出P点坐标，由题意可得：|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2，结合|PQ|=|PA|可得P的横纵坐标的关系，代入两点间的距离公式，利用配方法求得|PQ|的最小值并求得点P的坐标； ②求出C关于直线l：2x+2y﹣5=0的对称点为C′（m，n），结合三角形两边之差小于第三边得答案． 【解答】解：（1）∵M（﹣2，0），∴线段OM的垂直平分线方程为x=﹣1， 又圆心C在直线x+y=0上，联立，得， ∴圆心C的坐标为（﹣1，1），则半径r=|OC|=， ∴圆C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2； （2）①设P（a，b），连结PC，CQ， ∵Q为切点，∴PQ⊥CQ， 由勾股定理得：|PQ|2=|PC|2﹣|CQ|2， ∵|PQ|=|PA|，∴（a+1）2+（b﹣1）2﹣2=（a﹣1）2+（b﹣3）2， 化简得2a+2b﹣5=0； ∴==， ∴当时，， 此时P点坐标为； ②设C关于直线l：2x+2y﹣5=0的对称点为C′（m，n）， 则，解得，∴， ∴， 故||PC|﹣|PA||的最大值为． 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查了直线和圆位置关系的应用，训练了配方法及放缩法求最值，是中档题． 19. （本题满分12分） 已知等比数列的前项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在直线上． ⑴求和的值； ⑵求数列的通项和； ⑶ 设，求数列的前n项和． 参考答案： 解：（1）由得：；；； 由得：；；； （2）由┅①得┅②；（） 将两式相减得：；；（） 所以：当时：  ；故：；    又由：等差数列中，，点在直线上． 得：，且，所以：；    （3）；利用错位相减法得：； 20. 已知集合A为使函数的定义域为R的a的取值范围， 集合(a为常数，). 若是的必要条件，试求实数a的取值范围. 参考答案： 因为函数的定义域为R，所以      解得，                   …………3分 由，得， ∴， 即 ……………………6分 ∵是的必要条件，. ∴，  解得.   即所求实数a的取值范围是.………………………………10分 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）证明CD⊥AE； （2）证明PD⊥平面ABE； （3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值． 参考答案： 考点： 二面角的平面角及求法． 专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE； （2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE； （3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值． 解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又AC⊥CD，AC∩PA=A， ∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC， ∴CD⊥AE； （2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD∴PA⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩PA=A ∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD∴AB⊥PD， 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形． ∴AC=AB∴PA=PC ∵E是PC中点∴AE⊥PC 由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD ∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A ∴PD⊥平面ABE； （3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM， 由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD， 则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD， 则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角． 设AC=a，AD==，PA=