湖北省孝感市孝昌县丰山镇中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

湖北省孝感市孝昌县丰山镇中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题． 【分析】设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可． 【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC ∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450， ∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45° ∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC= ∵C1D∥B1A ∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角 由余弦定理可得cos∠AB1C= 故选A 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 2. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有(     ) A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 参考答案： B 【考点】解三角形． 【专题】数形结合；数形结合法；解三角形． 【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形，可得一解． 【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°， 由三角形的内角和可得B=60°， ∴此三角形为正三角形，唯一解． 故选：B 【点评】本题考查三角形解得个数的判断，涉及等边对等角和三角形的内角和，属基础题． 3. 平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0 C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 参考答案： A 【考点】圆的切线方程． 【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程． 【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则， 所以=，所以b=±5， 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 故选：A． 4. 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则 等于（  ） A．           B．0.25            C．0.75               D．0.5 参考答案： C 略 5. 如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论： ①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA； ④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有 A．1个    B．2个    C．3个    D．4个 参考答案： A 6. 定义，，，的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是（    ） A．， B．， C．， D．， 参考答案： B 7. 的值为（    ） A、2i                       B、—2i                        C、2i                       D、0   参考答案： B 略 8. 在正方体中，异面直线与所成的角为（   ） A.         B.         C．       D.  参考答案： C 9. 口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，则n的值为(　　) A．5         B．6      C．7       D．8 参考答案： C 10. 在空间直角坐标系中，点，过点作平面的垂线，则的坐标为（　　） Ａ．             Ｂ．           Ｃ． Ｄ．   参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，若恒成立，则实数的取值范是    . 参考答案： 12. 命题“”的否定是“       ”．   参考答案： ，   略 13. 如图,某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为_________米。 参考答案： 略 14. 复数满足是虚数单位)，则的最大值为   ▲    . 参考答案： 6 略 15. 已知，是曲线与围成的区域，若向区域内随机投一点，则点落入区域的概率为___________. 参考答案： 16. 设集合为平面内的点集，对于给定的点A，若存在点，使得对任意的点，均有，则定义为点A到点集的距离。已知点集，则平面内到的距离为1的动点A的轨迹所围成图形的面积为_______________。 参考答案： 略 17. 已知点P是圆F1上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点,则点M的轨迹C的方程为    ********    .　      参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆（）的右焦点为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程；     （Ⅱ）点在圆上，且在第一象限内，过点作圆的切线交椭圆于，两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 参考答案： 见解析 ：（Ⅰ）依题意得，所以，所以椭圆方程为. （Ⅱ）依题意得，设的方程为 （） 由与圆 相切，则，即， 由，得， 设，，则，， 所以             又，，则    所以（定值）   另解：由，在中，     ，即，    同理，所以，    又，，则 所以（定值） 19. 已知：在三棱锥O—ABC中，OA⊥BC  ，OB⊥AC， 求证：OC⊥AB   参考答案： 证明：  OABC ·＝0 ·（－）＝0 20. 已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，是椭圆上任意一点，则当直线的斜率都存在时，其乘积恒为定值。类比椭圆，写出双曲线的类似性质，并加以证明。 参考答案： 略 21. （本小题满分14分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC， 底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点 （1）证明：平面PBC⊥平面PAC； （2）求二面角A—MC—B的平面角的余弦值 参考答案： （1）由条件知：BC=AC=，AB=2， ∴，∴AC⊥BC，……………2分 又∵PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD， ∴PA⊥BC………………………………………1分 又∵AC∩PA=A  ∴BC⊥平面PAC…………1分 又∵BC平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAC……………………1分 （2）在中，，又， 由（1）知BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴ ∴ΔAMC≌ΔBMC，过A作AQ⊥CM交CM于点Q，连接BQ，则BQ⊥CM ∴∠AQB即为二面角A—MC—B的平面角，…………………………………………3分 ∵在ΔAMC中，，利用面积相等， 可求得，同理，又AB=2，∴由余弦定理得， 故二面角A—MC—B的平面角的余弦值为．……………………………………3分 22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形,. （1）求证：BC⊥平面PBD； （2）设E为侧棱PC上一点，，试确定的值，使得二面角的大小为45°. 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先由（1）得两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的大小，即可求出结果. 【详解】（1）因为侧面底面，， 所以底面，所以； 又底面是直角梯形,， 所以， 因此，所以； 又，且平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可得两两垂直， 因此以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系； 则，，，， 则，，， 由（1）可知平面；所以为平面的一个法向量； 又因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，即， 所以， 又二面角的大小为， 所以，化简整理得， 解得， 因为为侧棱上一点，所以， 因此. 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及由二面角求其它量的问题，熟记线面垂直的判定定理，以及向量的方法求二面角即可，属于常考题型.