2022年湖南省衡阳市 县洪市中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022年湖南省衡阳市 县洪市中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，函数的图象经过点、，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为                            (  )   （A）       （B）   （C）      （D） 参考答案： D 2. 已知点，，则(    ) A. (0,－1) B.(1,－1) C. (2,2) D. (－1,0) 参考答案： C 【分析】 由点坐标减去点坐标，即可得出结果. 【详解】因为，，所以. 故选C 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，熟记概念即可，属于基础题型. 3. （5分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（） A． x+2y﹣5=0 B． 2x+y﹣4=0 C． x+3y﹣7=0 D． 3x+y﹣5=0 参考答案： A 考点： 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 专题： 计算题． 分析： 先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式． 解答： 设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为 y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A． 点评： 本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键． 4. 已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°，c=2a+3b,d=ka-b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为(    ) A.-6              B.6                      C.            D. 参考答案： D 5. 在中，，BC边上的高等于,则 A.              B.             C.              D. 参考答案： D 6. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则(     ) A．f（a）＞f（2a） B．f（a2+1）＜f（a） C．f（a2+a）＜f（a） D．f（a2）＜f（a） 参考答案： B 【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】配方法，先确定变量的大小关系，利用函数的单调性可得． 【解答】解：∵a2+1﹣a=（a﹣）2+＞0， ∴a2+1＞a． ∵函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数， ∴f （a2+1）＜f （a）． 故选B． 【点评】本题考查函数的单调性，涉及配方法的应用，属中档题． 7. 设集合，，则A∩B=（    ） A. {0,1} B. {－1,0,1} C. {－2,－1,0} D. {－2,－1,0,1} 参考答案： B 【分析】 先计算得到集合A，再计算得到答案. 【详解】 故答案选B 【点睛】本题考查了集合的交集，属于基础题型. 8. 函数f（x）=（x∈R）的值域是（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1] 参考答案： B 【考点】函数的值域． 【分析】本题为一道基础题，只要注意利用x2的范围就可以． 【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）， ∴1+x2≥1， 所以原函数的值域是（0，1]， 故选B． 【点评】注意利用x2≥0（x∈R）． 9. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O 于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　） A．2      B．8     C．2       D．2 参考答案： D 略 10. 2011年3月11日，日本发生了9级大地震并引发了核泄漏。某商场有四类食品，粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是                        （    ） Ａ．　           Ｂ．　           Ｃ．　          Ｄ．7 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设扇形的周长为，面积为，求扇形的圆心角的弧度数   参考答案： 2   12. 若圆与恒过点的直线交于两点，则弦的中点的轨迹方程为          ． 参考答案：   13. 已知等比数列{ a n = a 1 q n – 1，q∈N，n∈N }中，对某个n > 6有a 1 + a n = 1094，a 2 a n – 1 =，则a 3 + a n – 2  =             。 参考答案： 126 14. （5分）函数y=定义域是         ． 参考答案： （5，6] 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 计算题． 分析： 根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来． 解答： 解：要使函数有意义，则， 解得，5＜x≤6， 则函数的定义域是（5，6]． 故答案为：（5，6]． 点评： 本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方． 15. 的零点个数为__________. 参考答案： 2 16. 规定记号“”表示一种运算，即，若，则的值为          。 参考答案： 1 17. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象（如图所示），则f（x）的解析式为　　． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可得解． 【解答】解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，可得：ω==2， 由于：当x=时取得最大值2， 所以：2=2sin（2×+φ），可得：2×+φ=2kπ+，k∈Z， 解得：φ=2kπ+，k∈Z， 由于：|φ|＜π， 所以：φ=， 函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+）． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题共12分)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且. (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求二面角的大小.   参考答案： （1）由已知可得 于是有 所以 又所以平面CEF. 由平面CEF，故CF------------6分 （2）在△CEF中，由（1）可得      于是有所以CF⊥EF.      又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF. 又平面C1EF，故CF⊥C1F. 于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角. 由（1）知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小为450. ------------12分 19. 设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得函数f（x）的最小正周期及单调增区间． （Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[﹣，]上的最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=?=（2cosx，1）?（cosx， sin2x）=2cos2x+sin2x =cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1， ∴函数f（x）的最小正周期为=π． 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． （Ⅱ）在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[1﹣，3]， 即函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值为3，最小值为1﹣． 20. 已知{an}是等比数列，，，且成等差数列．    （1）求数列{an}的通项公式；    （2）设{bn}是等差数列，且, , 求. 参考答案： (1) .(2) . 【分析】 （1）根据成等差数列可得，化为关于的方程，解方程求得，从而可得，根据等比数列通项公式得到结果；（2）利用两个数列的关系得到和，根据等差数列通项公式求出基本量和，从而可得数列的首项和公差，利用等差数列求和公式得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为     成等差数列    ，即，整理为： 解得：（舍）或 ，解得： （2）由（1）可得：， 设等差数列的公差为，则，解得：     由题意可知：是以为首项，为公差的等差数列 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前项和的求解问题.解决此类问题的关键是能够求解出等差和等比数列的基本量，属于常规题型. 21. （12分）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点． （1）求实数k的值及函数y=f1（x）的解析式： （2）将y=f1（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 反函数；函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： （1）根据题意，把点A的坐标代入函数y=f（x）中，求出k的值，得f（x），从而求出y=f1（x）； （2）根据图象平移，得函数y=g（x）的解析式，化简不等式2f1（x+﹣3}）﹣g（x）≥1，利用函数的性质，结合分离常数法，即可求出关于m的不等式的解集． 解答： （1）∵函数f（x）=3x+k（k为常数）， 且A（﹣2k，2）是函数y=f1（x）图象上的点； ∴32+k=﹣2k， 解得k=﹣3； ∴f（x）=3x﹣3， ∴函数y=f1（x）=log3（x+3）； （2）将y=f1（x）=log3（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象， ∴y=g（x）=log3x； ∵2f1（x+﹣3）﹣g（x）≥1， 即2log3（x+﹣3+3）﹣log3x≥1， ∴log3≥1； 即≥3对任意的x＞0恒成立， ∴x+≥3， 即2+m≥（3﹣x）x； ∵x＞0，设函数t=（3﹣x）x， ∴t=﹣x2+3x=﹣+≤； ∴m+2≥， 解得m≥﹣； ∴实数m的取值范围[﹣，+∞）． 点评： 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用分离常数法求函数最值的问题，考查了解不等式的问题，是综合性题目． 22. 在中，，，边的高设为，且，根据上述条件求： （1）的值； （2）的面积. 参考答案： 解：（1）如图，由已知条件：在直角三角形中， ，，又为直角三角形， （2）在直角三角形中，，， 同理：， 略