2022年河南省开封市第四高级中学分校高三数学理联考试题含解析

2022年河南省开封市第四高级中学分校高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知随机变量服从正态分布N(M,4)，且P(＜)+ P(≤0)=1，则M=（   ）    A.               B.2              C.1                 D. 参考答案： D 2. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m⊥α，m?β，则α⊥β； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交； ④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β． 其中正确的命题是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 参考答案： D 【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可． 【解答】解：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题． ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题． ③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题． ④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．是正确的命题． 故选D． 3. 已知等腰内接于圆，点是下半圆弧上的动点（如图所示）．现将上半圆面沿折起，使所成的二面角为．则直线与直线所成角的最小值是 A．       B．    C．          D． 参考答案： B 4. 已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】将函数f（x）=sin2x+sinxcosx化解求最小值时θ的值，带入化解可得答案． 【解答】解：函数f（x）=sin2x+sinxcosx=sin2xcos2x+=sin（2x﹣）， 当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ=， 那么：2θ=2kπ， 则===． 故选C． 5. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布，若X在（0，8）内取值的概率为0.6，则X在（0，4）内取值的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 参考答案： B 6. 若集合，，则（    ） A、         B、        C、R      D、  参考答案： A 7. 定义在上的函数满足,当时,不等式 的解集为 A.      B.    C.     D. 参考答案： D 8. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件          B．必要不充分条件 C．充要条件                D．既不是充分条件也不是必要条件 参考答案： A 9. 计算： =（　　） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简． 【解答】解： ===2， 故选 A． 10. 若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件　        B．必要不充分条件 C．充要条件            D．既不充分也不必要条件 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　． 参考答案： 1＜a＜　 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】综合题；导数的综合应用． 【分析】x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由ax﹣x2=0，可得lna=，构造函数，确定函数的单调性，求出1＜a＜时有两个交点，即可得出结论． 【解答】解：x＞0时，由ax﹣x2=0，可得ax=x2，∴xlna=2lnx， ∴lna=， 令h（x）=，则h′（x）==0，可得x=e， ∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减， ∴h（x）max=h（e）=， ∴lna＜， ∴1＜a＜时有两个交点； 又x＜0时，必有一个交点， ∴1＜a＜时，函数f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三个不同的零点， 故答案为：1＜a＜． 【点评】本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 12. （5分）已知f（x）=ax3﹣bsinx﹣2，a，b∈R，若f（﹣5）=17，则g（5）的值是        ． 参考答案： ﹣21 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由函数f（x）=ax3﹣bsinx﹣2得，f（x）+2=ax3﹣bsinx为奇函数，由题意和奇函数的性质求出f（5）的值． 解答： 由题意得，函数f（x）=ax3﹣bsinx﹣2， 所以f（x）+2=ax3﹣bsinx为奇函数， ∴f（﹣5）+2+f（5）+2=0， 又f（﹣5）=17，则f（5）=﹣21． 故答案为：﹣21． 点评： 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题． 13. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为                      参考答案： 14. 设函数，则的取值范围是       。 参考答案： 15. 坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为       . 参考答案： 略 16. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为  ▲  ． 参考答案： 90 分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.   17. 抛物线的焦点到直线的距离是　____ ____　 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)将直线向右平移h个单位，所对直线 与圆C相切，求h． 参考答案： 19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且成等差数列． （1）求； （2）证明：． 参考答案： (1) (2)见证明 【分析】 （1）由等差数列中项性质，结合数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式和求和公式；（2）求得时，，再由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）由1，，成等差数列，得，① 特殊地，当n=1时，，得=1． 当n≥2时，，② ①-②得， =2（n≥2），可知{}是首项为1，公比为2的等比数列． 则； （2）证明：当n=1时，不等式显然成立 n≥2时，， 则． 20. 在直角坐标系中，直线过点且斜率为1，以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.  （Ⅰ）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线的交点为、，求的值. 参考答案： （Ⅰ）直线的普通方程为  ………………………………2分           ∵，  ……………………………………………………3分           ∴曲线C的直角坐标方程为  ………………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程 代入曲线方程  得…………………………………………………………………7分  ∴ ，      …………………………………………9分     ∴． ………………………………………… 10分 21. 已知函数. （1）若函数在[1,+∞)上为增函数，求a的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：(e为自然对数的底数). 参考答案： （1）由题可知，函数的定义域为， 因为函数在区间[1,+∞)上为增函数， 所以在区间[1,+∞)上恒成立等价于，即， 所以a的取值范围是(－∞,2].（4分） （2）由题得，则 因为有两个极值点， 所以 欲证等价于证，即， 所以 因为，所以原不等式等价于?①. 由可得，则②. 由①②可知，原不等式等价于，即 设，则，则上式等价于. 令，则 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即.（12分） 22. （本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且，，． （1）求的值； （2）求的值． 参考答案： （1）； （2）．