2022年江西省吉安市北仑泰和中学高三数学理联考试题含解析

2022年江西省吉安市北仑泰和中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是（     ） A.3      B.2        C.1         D.0 参考答案： A 设切点为，，所以切线方程为，把点A（2,1）代入得：，整理得：，即，次方程有三个解，所以过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是三条。 2.    ．相切 ． 相交         ． 相离        ．不确定 参考答案： C 3. 在等差数列{an}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列{an}的前9项和S9=(     ) A．﹣11 B．13 C．45 D．117 参考答案： C 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质． 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21， ∴，解得d=2，a1=﹣3． ∴S9=9×（﹣3）+=45． 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则的取值范围是（    ） A． B． C．或    D． 参考答案： D 略 5. 执行如图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是 A．15                 B．105               C．120                 D．720 参考答案： B 6. 下列命题中正确的是(    ) A.命题“，”的否定是“”   B.命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件 C.若“，则”的否命题为真 D.若实数，则满足的概率为. 参考答案： C A中命题的否定式，所以错误.为真，则同时为真，若为真，则至少有一个为真，所以是充分不必要条件，所以B错误.C的否命题为“若，则”，若，则有所以成立，选C. 7. 设x、y满足  则                         A．有最小值2，最大值3                   B．有最小值2，无最大值     C．有最大值3，无最大值                  D．既无最小值，也无最大值 参考答案： B 做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B. 8. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限 参考答案： D 9. 设偶函数满足，则不等式＞0的解集为_____. 参考答案： 10. 已知P（，1），Q（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（  ） A. B. C. － D. 参考答案： B 【分析】 由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。 【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得 ，因为，所以，故选B。 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. (10) 的二项展开式中的常数项为      . 参考答案： 15 12. 已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题． 【分析】由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案． 【解答】解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0， ∴k1=，k2= 若l1∥l2，则k1=k2 即= 解得：a=3或a=﹣1 又∵a=3时，两条直线重合 故答案为﹣1 【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3． 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是   ▲   ． 参考答案： 14. 已知，则            参考答案： 略 15. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥O﹣ABCD 的体积的最大值为　  　． 参考答案： 2 【考点】球的体积和表面积． 【分析】利用体积求出R，利用长方体的对角线d=2R=4，得出a2+b2=12， ，即可得出结论． 【解答】解：设球的半径为R，则=，∴R=2， 从而长方体的对角线d=2R=4，设AB=a，BC=b，因为AA1=2 则a2+b2+22=16，∴a2+b2=12 故=2，当且仅当时，四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值为2． 故答案为：2 16. 函数，则使得成立的x的取值范围是           ． 参考答案： (0,1) 17. 函数的零点的个数为      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC， D是PB上一点， 且CD⊥平面PAB．      （1）求证：AB⊥平面PCB；      （2）求异面直线AP与BC所成角的大小；             参考答案： 解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.      ∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB.  又PCCD=C，∴AB平面PCB.                   （2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF. 则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角.                      由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF. 由三垂线定理，得PF⊥AF。 则AF=CF= 在Rt△PFA中，        ∴异面直线PA与BC所成的角为.                        解法二：（1）同解法一. （2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC，可求得BC= 以B为原点，建立如图所示的坐标系. 则A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）.                    则 ∴异面直线AP与BC所成的角为  略 19. 横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为学校主要道路(不考虑宽度)，。 (1)求道路BE的长度； (2)求生活区ABE面积的最大值。 参考答案： (1)；(2)。 【分析】 （1）连接，在中，由余弦定理求得，再在直角中，利用勾股定理，即可求解. （2）设，在中，由正弦定理可得，利用面积公式和三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）如图所示，连接，在中， 由余弦定理可得， 解得， 因为,所以 又由，所以, 在直角中，, （2）设，因为，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 所以 当且仅当时，即时，取得最大面积， 即生活区面积的最大值为.   【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 20. （本小题满 分12分）已知椭圆的短轴长为单位圆   的直径，且椭圆的离心率为． (Ⅰ)求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆短轴的上顶点作直线分别与单位圆和椭圆交于两点（两点均在轴的右侧），设为椭圆的短轴的下顶点，求的最大值． 参考答案： （Ⅰ）由题知，又，得，椭圆的方程为． ……4分 21. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是圆切线,是切点, 割线是圆的直径， 交于，，,. （1）求线段的长； （2）求证：.      参考答案： 见解析 【知识点】几何选讲 解：（Ⅰ）因为是圆直径 所以, ，又,， 所以， 又可知，所以 根据切割线定理得： ， 即 （Ⅱ）过作于，  则， 从而有，  又由题意知所以， 因此，即       22. (本小题满分7分)已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量． （Ⅰ）求矩阵； （Ⅱ）设曲线在矩阵的作用下得到的方程为，求曲线的方程 参考答案： 解：（Ⅰ）=，∴ 解得∴.………4分 （Ⅱ）设点为曲线上的任一点，它在矩阵的作用下得到的点为， 则，所以   代入得， 所以所求的曲线方程为.………7分