2022年河北省保定市艺术中学高三数学理模拟试题含解析

2022年河北省保定市艺术中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(   ) （A）2 （B）1 （C） （D） 参考答案： B 略 2. （08年全国卷Ⅰ文）曲线在点处的切线的倾斜角为   A．30°           B．45°         C．60°         D．120° 参考答案： 【解析】 B   因为所以切线的倾斜角为45°．答案为B 3. 已知函数，则下列判断正确的是（   ） A．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 B．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 C．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 D．此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是 参考答案： B 4. 已知集合，，则集合 A．         B．           C．       D． 参考答案： D 5. 已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是(     ) A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q） 参考答案： B 考点：复合命题的真假． 专题：简易逻辑． 分析：分别判定命题p，q的真假性，利用复合命题站真假之间的关系即可得到结论． 解答： 解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|， ∵cos2x的周期是π， ∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题． 若若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题， 则p∨q为真命题，其余为假命题， 故选：B 点评：本题主要考查复合命题真假之间的关系，利用条件先判定命题p，q的真假是解决本题的关键． 6. 复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限    D．第四象限 参考答案： D 7. 已知直线与直线互相垂直，则 （A）                             （B）          （C）                               （D） 参考答案： C 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直， 所以， 故答案为：C 8. 定义域为的函数图像的两个端点为、，是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”．若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（    ）   A．     B．     C．     D． 参考答案： D 9. 在同一坐标系中，方程的曲线大致是(   ) 参考答案： 答案：D 10. 设函数（且）则函数的奇偶性（  ） A．与无关，且与无关         B．与有关，且与有关       C. 与有关，且与无关         D．与无关，但与有关 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，，，则的最小值为          . 参考答案：   12. 代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时　　． 参考答案： 2.5小时 考点： 解三角形的实际应用．3794729 专题： 应用题． 分析： 将台风中心视为点B，进而可知AB的长度，过B作BC垂直正东线于点C，进而可知BC=200，AC=200，在BC线上取点D使得AD=350千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是 A码头从受到台风影响的时间． 解答： 解：在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面 将台风中心视为点B，则AB=400 过B作BC垂直正东线于点C，则BC=200，AC=200 台风中心350千米的范围都会受到台风影响 所以在BC线上取点D使得AD=350千米 因为AC=200千米，AD=350千米∠DCA是直角 根据勾股定理 DC==50千米 因为350千米的范围内都会受到台风影响 所以影响距离是50×2=100千米 T=0=2.5（小时） 故答案为2.5小时． 点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力． 13. 已知直线上的三点，向量满足，则函数的表达式为         参考答案： 14. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有                                                      . 参考答案： 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值   略 15. 已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，由点向圆所作的两条切线，且，则椭圆的离心率的取值范围是          ． 参考答案： 16. 在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有种 参考答案： 设两个不同的小球为当放入1号盒或者6号盒时，有4种不同的放法；当放入2，3，4，5号盒时，有3种不同的放法，一共有= 20种不同的放法. 17. 已知角a（-π<<0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是          。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a． （Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状； （Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值． 参考答案： 【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹． （Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得， （x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆． （Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为 +=2a， 由题意可得直线C与圆相切，故有 =3，解得 a=3 或a=﹣3． 19. 已知函数f（x）=|3x﹣4|． （Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值； （Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围． 参考答案： 【考点】3O：函数的图象． 【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值； （Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4， 图象如图所示， 由图象可得，x=，g（x）有最小值﹣； （Ⅱ）由题意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3）， ∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15， ∴λ≥15． 【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 20. （12分） 在中，分别为角的对边，且满足. （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值. 参考答案： 解析：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得       而，则；       （Ⅱ）由及正弦定理得，       而，则       于是，      由得，当即时，。 21. 已知三角形的三边和面积S满足。求S的最大值。 参考答案： 解： ,则当时, 22. （12分）在数列{an}中，an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*）且a1=2． （Ⅰ）证明：数列{an+1}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）对原等式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证； （Ⅱ）运用等比数列的通项公式可得，即，再由数列的求和方法：分组求和，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和． 【解答】（Ⅰ）证明：∵an=2an﹣1+1， ∴an+1=2（an﹣1+1）， ∵a1=2，∴a1+1=3， 则数列{an+1}是以3为首项，2为公比的等比数列； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， ∴， 则Sn=（3+6+…+3?2n﹣1）﹣（1+1+…+1） ∴． 【点评】本题考查等比数列的定义的运用，以及通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．