2022-2023学年山西省太原市第二十四中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年山西省太原市第二十四中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数, 对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（      ） A. B. C. D. 参考答案： B 复数对应的点分别为，且为线段的中点，根据中点坐标公式可得，则点对应的复数是，故选B. 2. 函数在处有极值10，则的值为       （    ） A  .       B .   C .             D . 以上都不正确 参考答案： D 3. 函数的定义域是(    ) A.         B.     C.(1,2)     D. 参考答案： D 4. 下列命题中，真命题是（      ） A． B． C．的充要条件是 D．是的充分条件 参考答案： D 略 5. 已知圆上两点M，N关于直线对称，则圆的半径为（    ）． A. 9 B. 3 C. D. 2 参考答案： B 由题意知，圆心在直线2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为3. 6. 设F为抛物线y2=8x的焦点，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且++=，O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（　　） A．36 B．48 C．54 D．64 参考答案： B 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】确定抛物线y2=8x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32的表达式，利用点F是△ABC的重心，求得数值． 【解答】解：设A、B、C三点的坐标 分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）， ∵抛物线y2=8x的焦点F的坐标为（2，0）， ∴S1=×|y1|×2=|y1|， S2=×|y2|×2=|y2|， S3=×|y3|×2=|y3|， ∴S12+S22+S32=y12+y22+y32=8（x1+x2+x3）； ∵++=， ∴点F是△ABC的重心， ∴（x1+x2+x3）=p=2， ∴（x1+x2+x3）=6； ∴S12+S22+S32=6×8=48． 故选：B． 7. 曲线与曲线的(       ) A.实轴长相等            B.虚轴长相等              C.离心率相等               D.焦距相等 参考答案： D 8. 用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 9. 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为(   ) A.     B.     C.     D. 参考答案： D 10. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （　　） A．－＜x＜3 B．－＜x＜0   C．－3＜x＜   D．－1＜x＜10 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线 = 8的弦AB轴，且＝4，则AB到焦点的距离是____ 参考答案： 1 12. 若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为          . 参考答案： 31 解析：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数 13. 某单位有老年人18人，中年人39人，青年人51人．为了调查他们的身体状况，运用分层抽样从该单位抽取一个容量为36的样本，则抽取的青年人的人数为       . 参考答案： １７人. 略 14. 直线与曲线有两个公共点，则实数a的取值范围是_____． 参考答案： 【分析】 由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可. 【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下： 因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型. 15. 已知函数.若函数存在5个零点，则实数a的取值范围为_________. 参考答案： （1,3） 【分析】 先作出函数y=2f(x)的图像，再令=0，则存在5个零点，再作函数y=的图像，数形结合分析得到a的取值范围. 【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)， 当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意. 当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意. 当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像. 16. 正方体中，与所成角为__________度。 参考答案： 90 略 17. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角． 【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A1（1，0，1），B（0，1，0）， =（﹣1，1，﹣1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0）， 设直线A1B与平面BB1C1C所成角为θ， 则sinθ===． ∴直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本85元；小箱每箱30瓶，批发成本65元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为（45，55]时看作销量为50瓶）． （1）设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列； （2）从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？（必须作出一种合理的选择） 参考答案： （1）见解析；（2）早餐店应该批发一小箱. 【分析】 （1）先由频率分布直方图求出各销量对应的概率，然后分别列出随机变量X和Y可能的取值及其概率； （2）先算出随机变量X和Y的数学期望，发现期望值相同，然后再算出其方差，方差越小越稳定越好. 【详解】（1）若早餐店批发一大箱，批发成本为85元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况． 当销量为20瓶时，利润为5×20﹣85＝15元， 当销量为30瓶时，利润为5×30﹣85＝65元， 当销量为40瓶时，利润为5×40﹣85＝115元， 当销量为50瓶时，利润为5×50﹣85＝165元． 随机变量X的分布列为： X 15 65 115 165 P 0.3 0.4 0.2 0.1     若早餐店批发一小箱，批发成本为65元，依题意，销量有20，30两种情况． 当销量为20瓶时，利润为5×20﹣65＝35元， 当销量为30瓶时，利润为5×30﹣65＝85元． 随机变量Y的分布列为： Y 35 85 P 0.3 0.7     （2）根据（1）中的计算结果，所以E（X）＝15×0.3+65×0.4+115×0.2+165×0.1＝70（元）， 所以E（Y）＝35×0.3+85×0.7＝70（元）．E（X）＝E（Y）， D（X）=, D（Y）= ，所以D（X）>D（Y）. 所以早餐店应该批发一小箱． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题． 19. （本题满分14分）某种产品的广告费用支出（千元）与销售额（10万元）之间有如下的对应数据： （Ⅰ）请画出上表数据的散点图； （Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额关于费用支出的线性回归方程． （III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？ （参考值：，） 参考答案： （Ⅱ）∵，，，， ∴，， 故销售额关于费用支出的线性回归方程为 （III）y=8.25 20. 下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，程序用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题： （1） 在程序中，“k=0”的含义是什么？ 横线①处应填什么？ （2） 执行程序，输出S，T，A的值分别是多少？ （3） 请分析该班男女生的学习情况．   参考答案： 解析：(1)k=0表示女生，横线①处应填：                  4分      （2）S=78   T=76.9(或76.88或或77)   A77.4      8分 (3) 女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重．                     12分 21. （本题满分12分）、 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人. 问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.   参考答案： 解：设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意 当x=4时y=16  当x=7时y=10得下列方程组: 16=4k+b 10=7k+b         解得:k=  b=24         由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S节车厢 则 所以当时,此时y=12 则每日最多运营人数为110×6×12=7920(人) 22. （12分）已知函数()的最小正周期为，且 （1）求和的值； （2）设， ，，求