2022-2023学年浙江省嘉兴市桐乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年浙江省嘉兴市桐乡中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象大致为 参考答案： C 2. 若函数为奇函数，则（    ） A、    B、     C、    D、 参考答案： A 3. 已知集合，集合，则 A．　            B．             C．         D． 参考答案： C 4. 若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．由|+|=|﹣|=2||，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出． 【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则=． ∵|+|=|﹣|=2||， ∴四边形OACB为矩形， ∴==， ∴向量+与的夹角为． 故选：B． 【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 设函数，则下列结论错误的是( ) A．D(x)的值域为{0,1}  B．D(x)是偶函数C．D (x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 参考答案： C 略 6. 根据如下样本数据：(     ) x 3 4 5 6 7 8 y ﹣3.0 ﹣2.0 0.5 ﹣0.5 2.5 4.0 得到的回归方程为=x+，则． A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 参考答案： D 考点：线性回归方程． 专题：计算题；概率与统计． 分析：利用公式求出b，a，即可得出结论． 解答： 解：样本平均数=5.5，=0.25， ∴=23.75，=17.5，∴b≈1.4＞0， ∴a=0.25﹣1.4?5.5＜0， 故选：D． 点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． 7. 已知a为正实数，若函数的极小值为0，则a的值为　　 A. B. 1 C. D. 2 参考答案： A 【分析】 由于，而，可求得在处取得极小值，即，从而可求得的值． 【详解】解：由已知， 又， 所以由得或，即函数在和上单调递增， 由得，函数在上单调递减， 所以在处取得极小值0， 即， 又， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题. 8. 对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的 （A）充分而不必要条件         （B）必要而不充分条件     （C）充要条件                 （D）既不充分也不必要 参考答案： B 略 9. 茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　） A．m=29，n=15 B．m=29，n=16 C．m=15，n=16 D．m=16，n=15 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数， 由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，89，89，90，91，96，98，98，98，共1，6人，故n=16， 由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，49，50，51，52，53，53，56，58，59，59，59共15人， 则在60名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15=29，故m=29， 故选：B． 【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键． 10. 如果对于正数有，那么 （    ）        A．1                         B．10                       C．                   D． 参考答案： D   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________． 参考答案： 略 12. 已知两个非零向量 ，定义，其中为的夹角．若，，则___▲___ 参考答案： 6 13. 设等差数列的前项和为，若，则=           .   参考答案： 13 14. OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=    ． 参考答案： 4; 15. 已知函数满足，且时，，则函数与的图象交点的个数为____________。 参考答案： 略 16. 如图,对大于或等于的正整数的次　幂进行如下方式的“分裂” (其中)例如的“分裂”中最小的数是,最大的数是；若的“分裂”中最小的数是,则最大的数是          ． 参考答案： 271 略 17. 已知复数z满足（i为虚数单位），则        . 参考答案： 试题分析：因为，所以，也可利用复数模的性质求解： 考点：复数的模 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合，，. （1）若，求；1111] （2）若，求的取值范围. 参考答案： （1）；（2）． 试题解析：（1）若，则.…………………………………………………………………………1分 ∴，又，∴.…………………………………………4分 （2）令，∴.………………………………………………………………………5分 ∴，…………………………………………………………7分 当，即时，取得最小值，且最小值为.…………………………………8分1111] 故，从而，……………………………………………………………………9分 ∵，∴.………………………………………………………12分 考点：1、对数的运算； 2、集合的运算；3、函数的值域． 19. (本小题满分丨4分） 已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点. (I)求椭圆C的方程； (II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值. 参考答案： 解：(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为 的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为               ………………4分 (II)设则 当直线的斜率为时，的垂直平分线就是轴， 轴与直线的交点为, 又因为，所以， 所以是等边三角形,所以直线的方程为      ………………6分 当直线的斜率存在且不为时，设的方程为 所以，化简得 所以 ，则 ………………8分 设的垂直平分线为，它与直线的交点记为 所以，解得, 则                                   ………………10分 因为为等边三角形， 所以应有 代入得到，解得（舍），……………13分 此时直线的方程为 综上，直线的方程为或                 ………………14分 20. 如图，在四面体中，平面⊥平面， ， ，，为等边三角形. （Ⅰ）求证：⊥平面 （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： 证：（1）取中点，连结，为等边三角形. ⊥，      ……(2分) 又平面⊥平面，平面平面=， 平面，⊥平面，⊥，……(5分) 又⊥，   ⊥平面     ……(7分) （2）法一：设点C到平面的距离为d，  由， ……(10分) 即，得  ……(13分) 设直线 与平面 所成角为，则……(15分) 法二：取中点，连，则⊥，⊥，⊥平面，平面⊥平面，又平面平面=，过点C作⊥，垂足为G，则⊥平面，所以就是所求角.  ……(10分) 在中，算得， ……(13分)所以……(15分) 法三：如图建立空间直角坐标系，   则 所以   ……(10分)   设 所以取      ……(13分) 设直线 与平面 所成角为，则……(15分) 21. 已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn． （1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式． （2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”． ①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn． ②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案； （2）①根据题目条件判断：数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解Sn即可． ②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，综合判断数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，可得m必为偶数． 再运用不等式证明m≤6，求出数列即可． 【解答】解：（1）∵数列{an}，{bn}都为递增数列， ∴由递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*， 则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列． ∴an=2n﹣1，；                            （2）①∵数列{an}满足：存在唯一的正整数k=5，使得ak+1＜ak，且|an+1﹣an|=2， ∴数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列， 故；                                   ②∵，即bn+1=±2bn， ∴|bn|=2n﹣1， 而数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1， ∴数列{bn}中有且只有两个负项． 假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数， ∴m必为偶数．                                                首先证明：m≤6． 若m＞7，数列{an}中（Sm+1）max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）2， 而数列{bn}中，bm必然为正，否则≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，显然矛盾； ∴=2m﹣1﹣3． 设， 设， 而0（m