云南省大理市市第一职业中学高一数学理联考试题含解析

云南省大理市市第一职业中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（    ） A．2                B．3             C．4                D．5 参考答案： C 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°腰和上底边卫1的等腰梯形的面积是     A．     B．     C．1+         D． 参考答案： B 3. 计算sin75°cos15°﹣cos75°sin15°的值等于（　　） A．0 B． C． D． 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】直接利用两角差的正弦化简求值． 【解答】解：sin75°cos15°﹣cos75°sin15°=sin（75°﹣15°）=sin60°=． 故选：D． 4. 中，角A,B,C的对边分别为,若(   ) A.             B.              C.             D.  参考答案： A 略 5. 若f（x）为偶函数，且x0是的y=f（x）+ex一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点(     ) A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）ex+1 C．y=f（x）ex﹣1 D．y=f（x）e﹣x+1 参考答案： B 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数零点的定义和性质结合偶函数的对称性即可得到结论． 【解答】解：x0是的y=f（x）+ex一个零点， ∴f（x0）+=0，即f（x0）=﹣， ∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x0）=f（x0）， ∴当x=﹣x0时， A．y=f（x0）﹣1=f（x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2， B．y=f（﹣x0）+1=f（x0）+1=﹣1+1=0， C．y=f（x0）﹣1=f（x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2， D．y=f（﹣x0）+1=f（x0）+1≠0， 故选：B 【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数偶函数的对称性以及指数幂的运算法则是解决本题的关键． 6. 若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．（1，8） C．[4，8） D．（4，8） 参考答案： C 【考点】3F：函数单调性的性质；5B：分段函数的应用． 【分析】让两段都单调递增，且让x=1时ax≥（4﹣）x+2，解关于a的不等式组可得． 【解答】解：∵函数f（x）=是R上的增函数， ∴，解得4≤a＜8 故选：C 7. 下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(     ) A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：由茎叶图中的数据得， 甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92， 则甲的平均成绩．甲=（88+89+90+91+92）=90； 设污损数字为x， 则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x， 则乙的平均成绩．乙=[83+83+87+99+（90+x）]=88．4+， 当x=8或9时，．甲≤．乙， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为； 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 8. ，为非零向量，且|+|=||+||，则（　　） A． = B．，是共线向量且方向相反 C．∥，且与方向相同 D．，无论什么关系均可 参考答案： C 【考点】96：平行向量与共线向量． 【分析】由已知条件推导出，从而得到∥，且与方向相同． 【解答】解：∵，为非零向量，且|+|=||+||， ∴|+|2=（||+||）2， ∴=， ∴， ∴∥，且与方向相同． 故选：C． 【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用． 9. 函数 的部分图象如图所示，则 b的值等于(   ) A. 2                  B.b C.            D. 参考答案： C 10. 奇函数在是增函数，且，若函数对所有的，都成立，求实数的取值范围                   （     ）    B.     C. 或   D. 或或  参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的三个内角所对的边分别是，且，则          ． 参考答案： 略 12. 已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交 点个数为___________。 参考答案： 10 13. （5分）已知幂函数y=xm﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=        ． 参考答案： 1 考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由幂函数y=xm﹣3的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数m 的值． 解答： 幂函数y=xm﹣3的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减， ∴m﹣3＜0，且m﹣3是偶数 由 m﹣3＜0得m＜3，又由题设m是正整数，故m的值可能为1或2 验证知m=1时，才能保证m﹣3是偶数 故m=1即所求． 故答案为：1． 点评： 本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向． 14. ∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2 cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为　　． 参考答案： 45° 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，连接OP，OC，OD，根据，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是2 cm，我们分别求出CD，OD，OP的长，进而解出∠PCO的大小，即可得到PC与平面ABC所成角的大小． 【解答】解：设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D， 连接OP，OC，OD，如图所示： 则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角 ∵P到两边AC，BC的距离都是2cm， 故O点在∠ACB的角平分线上，即∠OCD=45° 由于PC为4cm，PD为2cm，则CD为2cm． 则△PCD在底面上的投影△OCD为等腰直角三角形． 则OD=CD=2，然后得CO=2cm， 根据勾股定理得PO=2cm=CO， ∴∠PCO=45°． 故答案为：45°． 15. 已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是__________． 参考答案： [－1,1] 解：若，对于任意的，均有， 则， 解得：， 故：实数的取值范围是[－1,1]． 16. 已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。 参考答案： 答案：。±15。 错因：容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。 17. 住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________． 参考答案： 【分析】 将甲、乙到达时间设为（以4:00为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足： 画出图像，根据几何概型公式得到答案. 【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以4:00为0时刻，单位为分钟） 则相见需要满足： 画出图像： 根据几何概型公式： 【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）． （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）令x1=x2=0，得f（0）=0，令x1=x，x2=﹣x，推出f（﹣x）与f（x）的关系，即可判断判断函数f（x）的奇偶性； （2）通过f（4）=1，求出f（8），化简f（x﹣1）＜2，利用f（x）在上是增函数，求实数λ的取值范围． 19. （本小题满分12分） 如图是函数的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点. （1）求函数f(x)的解析式及[π，2π]上的单调增区间； （2）若时，函数的最小值为，求实数a的值.   参考答案： 解： （1）取中点为，则， 因为为中点，且在轴上，则， 所以，，则，                       ……1分 ，又因为，则         ……2分 所以，由 又因为，则 所以                                      ……3分 令 ……5分 又因为 则单调递增区间为.                                    ……6分 （2）因为                            ……7分 所以                         ……9分 令，则 对称轴为 ①当时，即时，；          ……10分 ②当时，即时， （舍）                                                                ……11分 ③当时，即时，（舍） 综上可得：.                                          ……12分   20. （8分）证明函数f（x）=﹣1在（0，+∞）上是减函数． 参考答案： 考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 证明题；函数的性质及应用． 分析： 运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤． 解答： 证明：设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2， f （x1）﹣f （x2）=﹣1﹣（﹣1） =﹣=． 因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以f （x1）﹣f （x2）＞0．即f （x1）＞f （x2）， 因此 f （x）=﹣1是（0，+∞）上的减函数． 点评： 本题考查函数的单调性的证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题． 21. 已知集合,又A∩B={x|x2+ax+b＜0},求a+b的值。 参考答案： 解：∵, …（6分） ∴A∩B={x|x2+ax+b＜0}=,                  ………………（8分） ∴和即为方程x2+ax+b=0的两根，∴  ∴a+b=.………（12分） 略 22. （14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设α、β∈[0，]，f（+）=，f（+π）=，求sin（α+β）的值． 参考答案： 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值；二倍角的余弦；正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （1）由倍角