云南省曲靖市会泽县大海乡中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

云南省曲靖市会泽县大海乡中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是 A. 内所有的直线与异面.            B. 内不存在与平行的直线. C. 内存在唯一的直线与平行.        D. 内的直线与都相交. 参考答案： B 略 2. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，E为A1B1 的中点，则下列四个命题： ①点E到平面ABC1D1 的距离为； ②直线BC与平面ABC1D1 所成的角等于45° ③空间四边形ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影，其面积最小值是 ④AE与DC所成角的余弦值为 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】在①中，E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C；在②中，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1；在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形；在④中，∠EAB是AE与DC所成角． 【解答】解：在①中，E∈A1B1，A1B1∥面ABC1D1，∴E到面ABC1D1的距离等于B1到面ABC1D1的距离为B1C=．故①错误； 在②中，BC与面ABC1D1所成的角即为∠CBC1=45°，故②正确； 在③中，在四个面上的投影或为正方形或为三角形．最小为三角形，面积为，故③正确； 在④中，∵DC∥AB，∴∠EAB是AE与DC所成角， 取AB中点F，连结EF，则AF=，AE=， ∴cos∠EAB===．故④正确． 故选：C． 3. 定义在上的偶函数在上是减函数，若，则的范围是（   ） A、或     B、          C、或       D、       参考答案： B 4. 将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（   ） A．           B．        C．            D． 参考答案： D 5. 已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（　　） A． B． C．4 D．9 参考答案： A 【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，先求f（）的值，然后求f[f（）]的值即可． 【解答】解：由分段函数可知f（）=， 所以f[f（）]=f（﹣2）=． 故选A． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，以及指数函数和对数函数的求值问题，比较基础． 6. 设函数,则（　　） A． B．3 C． D． 参考答案： D 略 7. 在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状一定是 A．等腰三角形   B．直角三角形      C．等边三角形   D．等腰直角三角形 参考答案： A 8. 若样本+2，+2，，+2的平均数为10，方差为3，则样本2+3，2+3，…，2+3，的平均数、方差、标准差是                            （    A ）。 A．19，12，      B．23，12，   C．23，18，      D．19，18， 参考答案： A 9. 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是（    ） A． B． C．1：1 D． 参考答案： A 10. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A、i>100        B、i<＝100          C、i>50        D、i<＝50                                 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，若，则关于的方程 的解的个数为_____个 参考答案： 3 12. 若集合中只有一个元素,则的值为________ . 参考答案： 0或1 略 13. 已知函数，则对任意实数,，都有以下四条性质中的     ▲    (填入所有对应性质的序号). 　 ①　　　　　　② 　 ③　　　　　　　④ 参考答案： ④ 略 14. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为______________． 参考答案： 略 15. 设函数，则函数的零点为 ▲ ． 参考答案： 16. 函数f（x）=，则当f（x）≥1时，自变量x的取值范围为　　． 参考答案： （﹣∞，1]∪[，3] 【考点】5B：分段函数的应用． 【分析】根据题意分两种情况x＞2和x≤2，代入对应的解析式列出不等式求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）=，∴分两种情况： ①当x＞2时，由f（x）≥1得，，解得2＜x≤3， ②当x≤2时，由f（x）≥1得，|3x﹣4|≥1，即3x﹣4≥1或3x﹣4≤﹣1， 解得，x≤1或x≥，则x≤1或≤x≤2． 综上，所求的范围是（﹣∞，1]∪[，3]． 故答案为：（﹣∞，1]∪[，3]． 17. 是定义在上的奇函数，且当，设，给出三个条件：①②，③．其中可以推出的条件共有           个． 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）一投资商拟投资、两个项目，预计投资项目万元 可获得利润万元；投资项目万元可获得利 润万元。若这个投资商用60万元来投 资这两个项目，则分别投资多少钱能够获得最大利润？最大利润是多少？ 参考答案： 解：设x万元投资于A项目， 而用剩下的(60－x)万元投资于B项目，则其总利润为 W＝－(x－40)2＋100＋(－x2＋x)--------------------------------6分 ＝－ (x－30)2＋990.--- ----------------------------------------------------------9分 当x＝30时，Wmax＝990(万元)．---------------------------------------------11分 所以投资两个项目各30万元可获得最大利润，最大利润 为990万元------------------------------------------------------------------------ -12分 略 19. 比较大小（1）；（2）。 参考答案： 解析：（1）； （2） 20. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，0），B（4，6），C（0，8）． （1）求BC边上的高所在直线l的方程； （2）求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】（1）求出BC的斜率，带入点斜式方程即可；（2）求出AC的长，根据AC的方程，求出点B到直线AC的距离，从而求出三角形ABC的面积即可． 【解答】解：（1）因为点B（4，6），C（0，8），则kBC==﹣， 因为l⊥BC，则l的斜率为2． 又直线l过点A，所以直线l的方程为y=2（x﹣3），即2x﹣y﹣6=0． （2）因为点A（3，0），C（0，8），则|AC|==， 又直线AC的方程为+=1，即8x+3y﹣24=0， 则点B到直线AC的距离d==， 所以△ABC的面积S=|AC|×d=13． 21. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （Ⅰ）（i）证明：DE⊥平面PBC； （ii）若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体，试判断四面体EBCD是否为直角四面体，若是写出每个面的直角（只需写结论），若不是请说明理由． （Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的大小； （Ⅲ）记三棱锥P﹣ABD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何． 【分析】（I）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，由BC⊥CD得BC⊥平面PCD，故BC⊥DE，又因为PD=CD，E是PC中点，所以DE⊥PC，故DE⊥平面PBC； （II）∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，由△PDC是等腰直角三角形可知二面角P﹣BC﹣A的大小为45°； （III）由E为PC中点可知E到平面ABCD的距离h=PD，而两个棱锥的底面积相等，故=2． 【解答】解：（Ⅰ）（i）∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PD⊥BC． ∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD， ∴BC⊥平面PCD．∵DE?平面PCD， ∴BC⊥DE． ∵PD=CD，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．又∵PC∩BC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC， ∴DE⊥平面PBC． （ii）∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥CE，BC⊥CD， ∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥BE，DE⊥CE， ∴四面体EBCD是一个直角四面体，其四个面的直角分别是：∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB． （Ⅱ）∵BC⊥CE，CD⊥BC，∴∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角， ∵PD=CD，PD⊥CD，∴△PCD是等腰直角三角形， ∴∠PCD=45°，即二面角P﹣BC﹣A的大小是45°． （Ⅲ）∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离h=， ∵底面ABCD是矩形，∴S△ABD=S△BCD， ∵V1=S△ABD?PD，V2=S△BCD?PD， ∴=2． 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题． 22. 成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数。   参考答案： 解析：设四数为，则 即， 当时，四数为 当时，四数为