浙江省杭州市獐山中学高二数学理月考试题含解析

浙江省杭州市獐山中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解． 【解答】解：如图， tan∠NMF=，tan∠NFO=， ∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF， 即tan∠NFO=， ∴，则b2=a2﹣c2=ac， ∴e2+e﹣1=0，得e=． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 2. 椭圆的两个焦点是，为椭圆上与不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则等于（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 3. 已知定义在R上的奇函数为f(x)，导函数为，当时，恒有 ，令F(x)=xf(x)，则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是(    ) A．(-1,2)      B. (-1,)      C. (-2,)      D. (-2,1) 参考答案： A 4. 命题“已知为实数，若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是                                 （    ）   A、0                 B、1             C、2          D、4 参考答案： C 略 5. 过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(     )   A.0条               B.1条 C.2条                 D.3条 参考答案： B 6. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（     ） A          B           C           D   参考答案： D 略 7. 数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为（    ） A．11                          B．99                                 C．120                               D．121 参考答案： C 8. 已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则=（　　） A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 参考答案： A 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】由m+（m2﹣4）i＞0，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵m+（m2﹣4）i＞0， ∴，解得：m=2． 则=． 故选：A． 9. 命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（　　　） A．所有被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除 参考答案： C 略 10. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　） A．b=7，c=3，C=30° B．a=20，b=30，C=30° C．b=4，c=2，C=60° D．b=5，c=4，C=45° 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】对于A，由正弦定理可得：sinB＞1，可得三角形无解； 对于B，由余弦定理可得c为定值，三角形有一解； 对于C，由正弦定理可得：sinB=1，可求B=90°，A=30°，三角形有一解； 对于D，由正弦定理可得：sinB=，结合B的范围，可求B有2解，本选项符合题意； 【解答】解：对于A，∵b=7，c=3，C=30°， ∴由正弦定理可得：sinB===＞1，无解； 对于B，∵a=20，b=30，C=30°， ∴由余弦定理可得c===，有一解； 对于C，∵b=4，c=2，C=60°， ∴由正弦定理可得：sinB===1，B=90°，A=30°，有一解； 对于D，∵b=5，c=4，C=45°， ∴由正弦定理可得：sinB===， 又B为三角形的内角， ∴B∈（45°，180°），可得B有2解，本选项符合题意； 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.              ．   参考答案： 1 12. 函数的单调递增区间是 ． 参考答案： 13. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且 与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝, 则AC＝         参考答案： 2  略 14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　    　，表面积为　    　． 参考答案： 12,36. 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积． 【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4． ∴棱锥的体积V=． 棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5， ∴棱锥的表面积S=32++=36． 故答案为12；36． 15. 函数f(x)=(ln2)log2x－5xlog5e(其中e为自然对数的底数)的导函数为_______ 参考答案： －5x  16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中, BC1与截面BB1D1D所成的角是( 　) A.60°     B.45°     C.30°     D.90° 参考答案： C 略 17. 过点(3,0)的直线与抛物线的两交点为A、B，与y轴的交点为C，若，则__________． 参考答案： 【分析】 设方程为，联立方程得，利用韦达定理，根据得到，解得答案. 【详解】设方程为，，，， ∵，∴，由，得 ， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，计算量大，意在考查学生的计算能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 参考答案： 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项． （2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值． 【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5 解得d=﹣2，a1=9， 数列{an}的通项公式为an=11﹣2n （2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2． 因为Sn=﹣（n﹣5）2+25． 所以n=5时，Sn取得最大值． 【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 19. （14分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+﹣b=0． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若△ABC的面积为，求bsinB+csinC的最小值． 参考答案： 20. 已知数列{an}的前n项和． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围． （Ⅲ）设Bn为数列{bn}的前n项的和，其中，若不等式对任意的n∈N*恒成立，试求正实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）由an=，利用，能求出an=3n． （Ⅱ）先求出=，再求出{Tn}中的最大值为，由此能求出实数m的取值范围． （Ⅲ）由，由此能求出正实数t的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和， ∴当n≥2时，， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n，… 又n=1时，a1=S1=3满足上式， ∴an=3n．… （Ⅱ），… 当n=1，2时，Tn+1≥Tn， 当n≥3时，n+2＜2n?Tn+1＜Tn， ∴n=1时，T1=9，n=2，3时，，n≥4时，Tn＜T3， ∴{Tn}中的最大值为．… 要使Tn≤m对于一切的正整数n恒成立，只需， ∴．… （Ⅲ），… 将Bn代入，化简得，（*） ∵t＞0，∴，…9分 ∴（*）化为， 整理得，… ∴对一切的正整数n恒成立，… ∵随n的增大而增大，且， ∴．．… 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用，是难题． 21. （本题满分12分）已知函数f(x)＝a＋b. (1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间； (2)当a>0，且x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值． 参考答案： (1) (k∈Z) ;(2) (1)因为f(x)＝1＋cos x＋sin x＋b＝sin＋b＋1，--------2分 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． -----6分 (2)因为f(x)＝a(sin x＋cos x)＋a＋b＝asin＋a＋b， -----7分 因为x∈[0，π]，则x＋∈， 所以sin∈.--------------8分 故-----------10分 所以---------------------12分 22. 如图，一艘轮船按照北偏西30°的方向以30海里/小时的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东15°方向上经过40分钟后，灯塔在轮船的北偏东75°方向上，求灯塔和轮船原来的距离（结果保留准确值）   参考答案： 解：由条件知：∠A2MA1＝75°－15°＝60°     A1A-2＝海里     ∠A1A2M＝180°－45°－60°＝75°     由正弦定理得： ∴ 答：灯塔和轮船原来的距离为海里…………………12分