黑龙江省伊春市宜春三兴中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

黑龙江省伊春市宜春三兴中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是 A.         B. C.          D. 参考答案： A 函数是偶函数，所以，即函数关于对称。所以，，当时，单调递减，所以由，所以，即，选A. 2. 设等差数列的前项和为且满足则  中最   大的项为(    )       A．          B．         C．          D． 参考答案： C 略 3. “现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能 参考答案： D 【考点】进行简单的合情推理． 【分析】甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，得5（a+b+c）=22+9+9?a+b+c=8，即每个项目三个名次总分是8分． 每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分； 在各种情况下，对甲乙丙的得分合理性一一判定即可． 【解答】解：∵甲最终得22分，乙和丙最终各得9分， ∴5（a+b+c）=22+9+9?a+b+c=8 即每个项目三个名次总分是8分． 每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分； 对于情况①5分、2分、1分： 乙的马术比赛获得了第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名； 余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分不可能， 故甲必须得四个第一名，一个第二名， 余下一个第三名，四个第二名刚好符合丙得分， 由此可得乙和丙都有可能得第三名． 对于情况②4分、3分、1分；同上分析 故选：D 4. 设全集 (    )         A.    B.     C.        D. 参考答案： D 略 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则 A. 2011           B. 2012            C. 2013            D. 2014 参考答案： C 略 6. 下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是(     ) A．y=x2 B．y=﹣x3 C．y=﹣lg|x| D．y=2x 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定． 【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数， 又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 7. 已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，1），x2∈（1，4），则2a+b的取值范围是（　　） A (-6,-4)      B(-6,-1)     C(-10,-6)    D(-10,-1) 参考答案： D 略 8.   在的展开式中，含x的项的系数是                  A．55 B．－55                 C．56              D．－56 参考答案： 答案：D 9. 直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质． 专题： 直线与圆；简易逻辑． 分析： 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 解答： 解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点， 则圆心到直线距离d=，|AB|=2， 若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立． 若△OAB的面积为，则S==×2×==， 即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0， 则（|k|﹣1）2=0， 即|k|=1， 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立． 故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件． 故选：A． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键． 10. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（    ） A．0个           B．2个            C．4个            D．6个 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线y2=2x的准线方程是　 　． 参考答案： ﹣ 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案． 【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1， ∴准线方程是x=﹣ 故答案为：﹣ 　 12. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________. 参考答案： 4 略 13. 已知集合,，若=，R，则的最小值为                    . 参考答案： 略 14. 复数在复平面上对应的点的坐标是              ． 参考答案： 15. 在中，角所对的边分别为，且满足：     ，则的面积为            . 参考答案：    由及正弦定理得即,即得 即A=.由正弦定理及，得故 16. 若等于      参考答案： 答案：  17. 如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，，则AB=_______________. 参考答案： 4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）． （Ⅰ）判断f（x）的单调性； （Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围； （Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，＜e． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【专题】证明题；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间； （Ⅱ）应用参数分离得a＞，求出在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可； （Ⅲ）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（Ⅰ）的函数，求出最大值﹣1，得证． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax， ∴f′（x）=﹣a， 又函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数； 当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，）上是增函数； x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（，+∞）上是减函数； 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数； 当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数； （Ⅱ） 当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立， 即a＞在（0，+∞）上恒成立， 设g（x）=，则g′（x）=， 当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数； 当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数． 故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为， 所以a的取值范围是（，+∞）； （Ⅲ）要证当x∈（0，+∞）时，＜e， 可设t=1+x，t∈（1，+∞）， 只要证，两边取以e为底的对数， 得，即lnt＜t﹣1， 由（Ⅰ）当a=1时的情况得f（x）=lnx﹣x的最大值为﹣1，此时x=1， 所以当t∈（1，+∞）时lnt﹣t＜﹣1， 即得lnt＜t﹣1，所以原不等式成立． 【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题． 19. 若函数，在点处的斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值． 参考答案： (1)；(2) . 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 20. （本题满分15分） 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. （1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程； （2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=x2，   ①        得y＇=x. ∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－=-， ∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，……4分 联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.      ∵M是PQ的中点      ∴  x0==-，  y0=x12－(x0－x1).   ∴y0=x02++1(x0≠0)， ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). ……7分 （Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b). 分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则 .            y=x2 由                  消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.  ③             y=kx+b   则y1+y2=2(k2+b)，   y1y2=b2. ……12分 ∴|b|()≥2|b|=2|b|=2. ∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴的取值范围是（2，+）. ……15分 21. 已知a∈R，函数，g(x)=(lnx-1)ex+x（其中e为自然对数的底数）．（1）判断函数f(x)在上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数m,n满足m>0, n>0,求证：nnem≥mnen. 参考答案： ③若，则，函数在区间上单调递减.   ……5分 （2）解：∵，， ， ……6分 由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，．                                    ……8分 又，∴．                     ……9分 22. 已知f（x）=logax（a＞0，a