河南省南阳市星光中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河南省南阳市星光中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题错误的是    A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”； B. 若命题，则； C. 中，是的充要条件； D. 若向量满足，则与的夹角为钝角. 参考答案： D 与的夹角为时，，但与的夹角不是钝角,所以D错。 2. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　） 　 A． 2 B． 4 C． 2 D． 4 参考答案： D 略 3. 过点M(2，0)作圆的两条切线MA，MB（A，B为切点），则 A．        B．           C．        D． 参考答案： D 略 4. 已知集,,则（   ） A．            B． C．P              D．Q 参考答案： D 5. 设，定义P※Q＝，则P※Q中元素的个数为        . 参考答案： 12 6. = .   .   .    . 参考答案： D ∵=，选D.. 7. 设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若AB={2}，（）B={4}，    (）（）={1，5}，则下列结论正确的是       (    ） A．3    B．3     C．3     D．3 参考答案： C 8. 若集合，，则集合等于 （A）{－1,0,1}      （B）{－1,0,2} （C）{－1,1,2}     （D）{－1,0,1,2} 参考答案： A 9. 若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（   ） A . 4+2Δx       B .4Δx         C． 4      D .   2Δx 参考答案： A 10. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为（      ）   A．       B．         C．      D． 1   参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 【文科】正方体中，异面直线与所成的 角的大小为         . 参考答案： 连结，,则，所以为直线与平面所成的角，所以设正方体的边长为1，则，所以，所以。 12. 函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是             . 参考答案：       13. 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n= ________时，Sn取得最大值 参考答案： 略 14. 函数（）的反函数___________________． 参考答案： （） 15. 过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是　　   ． 参考答案：     16. 已知单位向量a，b的夹角为60°，则． 参考答案： 1 17. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为             ． 参考答案： －1 向量满足， 可得， 即为， 两式相减可得， 则向量在向量上的投影为，故答案为－1.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）设椭圆的离心率，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为，O为坐标原点. （I）求椭圆C的方程； （II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.. 参考答案： 19. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 （I）根据上表求回归方程；根据回归方程判断广告费用x与销售额y是否高度相关？（回答结论即可，不必说明理由） （II）据此模型预报广告费用为6万元时的销售额。 （参考公式：，） 参考答案： （I）由表可计算,,        2分 ＝9.4，解得                                                   5分 故回归方程为,                                             7分 广告费用x与销售额y是高度正相关。                                     9分 （II）令x=6得65.5.                                            预报广告费用为6万元时的销售额为65.5万元。                             12分 20. 直三棱柱中,,点在上. (Ⅰ)若是中点,求证:平面; (Ⅱ)当时,求二面角的余弦值. 参考答案： 解：(Ⅰ)连接交于点,连接,   因为直三棱柱中侧面为矩形,所以   为的中点,又是中点,   于是,且面 , AC1?平面B1CD   所以平面; (Ⅱ)由知,即,   又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间   直角坐标系如右图所示,于是,   又,由平面几何易知,   显然平面的一个法向量为, 又设平面的一个法向量为,则由 ,得, 解得,取,则,设二面角的平面角为, 则,又由图知 为锐角, 所以其余弦值为. 略 21. （12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，为PC上的点，过AH的平面分别交于点M，N，且MN∥平面ABCD． （1）证明：； （2）当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为30°，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 参考答案： （1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面， 平面， 且平面平面， 所以，所以． ……………………………6分 （2）由（1）知且，因为，且为的中点， 所以，所以平面，所以与平面所成的角为， 所以，所以，因为，所以． 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则 ， 所以． 记平面的法向量为，则， 令，所以，…………………………………………9分 记平面的法向量为，， 记二面角的大小为，则． 所以二面角的余弦值为．…………………………………………12分   22. 已知曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）． （Ⅰ）若极坐标为的点A在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标； （Ⅱ）若点P的坐标为（﹣1，3），且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|?|PD|． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）点对应的直角坐标为（1，1），由曲线C1的参数方程知：曲线C1是过点（﹣1，3）的直线，利用点斜式可得曲线C1的方程．曲线C2的极坐标方程即ρ2=2，展开化为：ρ2=2ρ×（sinθ+cosθ），利用互化公式即可得出曲线C2的直角坐标方程联立即可得出交点坐标． （Ⅱ）由直线参数方程可判断知：P在直线C1上，将参数方程代入圆的方程得：t2﹣4（cosα﹣sinα）t+6=0，设点B，D对应的参数分别为t1，t2，利用|PB|?|PD|=|t1|?|t2|=|t1t2|即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）点对应的直角坐标为（1，1）， 由曲线C1的参数方程知：曲线C1是过点（﹣1，3）的直线，故曲线C1的方程为：y﹣1=（x﹣1），化为x+y﹣2=0． 曲线C2的极坐标方程为，即ρ2=2，展开化为：ρ2=2ρ×（sinθ+cosθ）． 可得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0， 联立得，解得：， 故交点坐标分别为（2，0），（0，2）． （Ⅱ）由直线参数方程可判断知：P在直线C1上，将代入方程x2+y2﹣2x﹣2y=0得：t2﹣4（cosα﹣sinα）t+6=0， 设点B，D对应的参数分别为t1，t2，则|PB|=|t1|，|PD|=|t2|，而t1t2=6， ∴|PB|?|PD|=|t1|?|t2|=|t1t2|=6． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、曲线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．