2022年湖南省益阳市杨阁老中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年湖南省益阳市杨阁老中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限 参考答案： A 2. 已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最小值是（  ） A．4         B．       C.         D． 参考答案： D 3. 设，，，则 A.      B.      C.     D. 参考答案： C ，，。因为，所以，即。选C. 4. 已知，则的值为（   ） A. B. C.   D． 参考答案： C 5. 若则（   ） A.         B．       C.        D． 参考答案： C 知识点：三角函数的恒等变换及化简求值 解析：∵∴，,∴sin（），sin（）= ∴cos[（）﹣（）]=cos（）cos（）+sin（）sin（）=,故选C 【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（）和sin（）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案． 6. 已知x，y的取值如下表所示： x 2 3 4 y 6 4 5 如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 线性回归方程．  专题： 计算题． 分析： 估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果． 解答： 解：∵线性回归方程为， 又∵线性回归方程过样本中心点， ， ∴回归方程过点（3，5） ∴5=3b+， ∴b=﹣ 故选A． 点评： 本题考查线性回归方程，考查样本中心点满足回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题，这种题目一旦出现是一个必得分题目． 7. 命题“，≥恒成立”的否定是（   ） A．，<恒成立；    B．，≤恒成立； C．，≥成立；      D．，<恒成立. 参考答案： D 8. 若满足则的最大值为 （A）1                         （B）3 （C）5                         （D）9 参考答案： D 如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D. 9. 已知F是抛物线的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且的面积为5，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【详解】过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D。 设，则. ① ∵△AFC≌△ABD ，即 ② ③ 联立①②③解得，， 故选D 【点睛】抛物线过焦点的弦长AB可用公式 得出。 10. 观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数n的值为（    ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 参考答案： D 【分析】 由规律得再解方程即可 【详解】由已知等式规律可知，当时，可得. 故选D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=         ． 参考答案： 考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题；压轴题． 分析：在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可． 解答： 解：∵PC是圆O的切线， ∴由切割线定理得： PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8， ∴PA=2， ∴OA=OB=3，连接OC，OC=3， 在直角三角形POC中，利用面积法有， ∴CE==． 故填：． 点评：此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段以及切割线定理，属于基础题． 12. （5分）（2015?枣庄校级模拟）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25内弦AB的中点，则直线AB的方程为　　． 参考答案： x﹣y﹣3=0 【考点】： 直线与圆的位置关系． 【专题】： 计算题；直线与圆． 【分析】： 求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式． 解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为弦AB的中点，PC的斜率为=﹣1， ∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程y+1=1×（x﹣2），即x﹣y﹣3=0， 故答案为：x﹣y﹣3=0． 【点评】： 本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法． 13. 已知，且，则         . 参考答案：   略 14. 无限循环小数可以化为分数，如， 请你归纳出           ； 参考答案： 略 15. 设，若恒成立，则k的最大值为    参考答案： 16. 定义:如果函数在区间上存在,满足,则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数在区间上存在均值点,则实数的取值范围是________. 参考答案： 略 17. 若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10） 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，……，m+n）. 1 2 3 … m+n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p; （2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：.   参考答案： 解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .  (2) 随机变量 X 的概率分布为: X … … P … … 随机变量 X 的期望为： . 所以 . 19. 在中, 已知. （1）若,求的值； （2）若,求的值. 参考答案： (1)；(2). 考点：三角变换公式及正余弦定理等有关知识的综合运用． 20. 设函数. (1) 写出函数的最小正周期及单调递减区间； (2) 当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式； (3) 将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积. 参考答案： 解：（Ⅰ），   ∴. 由，得. 故函数的单调递减区间是.     . 当时，原函数的最大值与最小值的和， .                         （3）由题意知         =1    略 21. （本小题满分12分） 设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值． 参考答案： 解: 由三角形面积公式，得，故 因为， 所以 ①当时，由余弦定理得 ， 所以. ②当时，由余弦定理得 ， 所以. 22. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示. （Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求及乙组同学投篮命中次数的方差； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率. 参考答案： (1)依题意得:,解得, ……………3分 方差.  ……………6分 （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为9,7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为8,8,9. 依题意,不同的选取方法有: ,共6种. ……9分 设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C，则C中恰含有共2种. . ……………12分