山西省晋中市介休第三中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析

山西省晋中市介休第三中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若的三角，则A、B、C分别所对边=（    ） A．     B． C．     D． 参考答案： C 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线A D1与EF所成角大小为（  ）． A. 45° B. 30° C. 60° D. 90° 参考答案： C 【详解】分别是中点，所以有而，因此 异面直线与所成角为在正方体中，, 所以，故本题选C。 3. 函数y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（　　） A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2） 参考答案： C 【考点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】令x﹣2=0，即x=2时，y=a0﹣1=0，故可得函数y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点． 【解答】解：令x﹣2=0，即x=2时，y=a0﹣1=0， ∴函数y=ax﹣2﹣1（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（2，0）， 故选为：C 【点评】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题． 4. 已知θ∈[，π]，则=（　　） A．sinθ﹣cosθ B．cosθ﹣sinθ C．±（sinθ﹣cosθ） D．sinθ+cosθ 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】直接由三角函数的诱导公式化简结合已知条件计算即可得答案． 【解答】解：由， ===|sinθ﹣cosθ|=sinθ﹣cosθ， 故选：A． 5. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为（　　　　） A. （0，2） B. （1，2） C. （2，3） D. （﹣1，1） 参考答案： B 【分析】 由题意可得，由此求得的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得，故定义域为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 6. 由下列命题构成的“”，“”均为真命题的是（　　） Ａ．菱形是正方形，正方形是菱形 Ｂ．是偶数，不是质数 Ｃ．是质数，是12的约数 Ｄ．， 参考答案： D 7. 函数在闭区间（   ）上是增函数. 　　              参考答案： A 8. 若数列{}为等差数列，公差为，且=145，则的值为　（   ） A.60   B．其它值   C．    D.85 参考答案： D 9. 已知函数在区间[2,+∞)是减函数，则实数a的取值范围是(    )                 A．(－∞,4]         B．[4,+∞)        C. (－4,4]         D． [－4,4] 参考答案： C 因为函数在区间是减函数，根据复合函数的性质可知，外层是递减，内层在定义域内递增，故，综上可知实数a的范围是.   10. 过点且垂直于直线 的直线方程为（  ）    A．                             B．    C．                             D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知2a=5b=，则+=__________． 参考答案： 2 12. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；  ③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数; 写出所有正确的命题的题号：             。 参考答案： ③ 略 13. 如图2，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(1丈10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为          尺． 参考答案： 4.55 14. 下列四个函数中偶函数的序号为　　 ① ② ③ ④f（x）=x2+x﹣2． 参考答案： ①④ 【考点】函数奇偶性的判断． 【分析】分别由解析式求出定义域，化简f（﹣x）后由函数奇偶性的定义判断即可． 【解答】解：①函数f（x）的定义域是R， 因为=f（x），所以函数f（x）是偶函数， ②函数f（x）的定义域是{x|x≠0}， 因为=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数， ③由得﹣1≤x≤1，则f（x）的定义域是[﹣1，1]， 因为=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数， ④函数f（x）的定义域是{x|x≠0}， 因为f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣2=x2+x﹣2=f（x），所以函数f（x）是偶函数， 综上得，是偶函数的序号①④， 故答案为：①④． 15. 若,且,则_______________. 参考答案： 16. 若点C在以P为圆心，6为半径的弧（包括A、B两点）上，，且，则的取值范围为          ． 参考答案： 以点P为圆心建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意得 ，设 ，则点C的坐标为． ∵ ， ∴ ， ∴，解得 ， ∴， 其中 ， ∵， ∴， ∴ ． ∴ 的取值范围为 ．   17. 已知A（1，2）和B（3，2），若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，则x=_____; 参考答案： －1 【分析】 首先求出向量，再由向量相等的定义可得关于的方程组，解方程即可。 【详解】，， ， 又向量与相等， ，解得： 【点睛】本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）分别求A∩B，（?RB）∪A； （2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值集合． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点． 【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出CRB，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出A∩B，（CRB）∪A； （2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=?和C≠?两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}… B={x|log2x＞1}={x|x＞2}… A∩B={x|2＜x≤3}… （CRB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}… （2）当a≤1时，C=φ， 此时C?A… 当a＞1时， C?A，则1＜a≤3… 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]… 19. （14分）（2015秋?清远校级月考）已知函数f（x）=x+ （1）判断f（x）的奇偶性； （2）证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）先求f（x）定义域为{x|x≠0}，容易得到f（﹣x）=﹣f（x），从而f（x）为奇函数； （2）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2≥2，然后作差，通分，提取公因式x1﹣x2，从而证明f（x1）＞f（x2），这便可得出f（x）在[2，+∞）上是增函数． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}； f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x）； ∴f（x）为奇函数； （2）证明：设x1＞x2≥2，则： =； ∵x1＞x2≥2； ∴x1﹣x2＞0，x1x2＞4，； ∴； ∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在[2，+∞）上是增函数． 【点评】考查函数奇偶性的定义，以及判断函数奇偶性的方法和过程，增函数的定义，及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2． 20. 已知函数． （Ⅰ）若不等式的解集是，求实数a与b的值； （Ⅱ）若，且不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题. 【详解】（Ⅰ）因为不等式的解集是， 所以为两根，且, 因此 （Ⅱ）因为，所以不等式可化为 因为当时, 所以，因为，解得 【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 21. 已知△ABC的内切圆半径为2，且tanA=，求△ABC面积的最小值 参考答案： 解：设AB=c, BC=a, AC=b，D为切点，可知：2AD+2a=a+b+c得：AD=(b+c-a)，由tanA=，可得：tan∠DAO=2，  所以：DO=b+c-a=2，sinA=. S△ABC=bcsinA=(a+b+c)·2 即：bc=2(b+c)-2，所有bc=5(b+c)-5≥10-5 设=t，则知：t2-10t+5≥0，所以t≥5+2或t≤5-2(舍) 故bc≥45+20，所以S△ABC=bc≥18+8，b=c=5+2时取等号。 故△ABC面积的最小值为18+8. 22. 已知△ABC的周长为，且． （I）求边长a的值； （II）若S△ABC=3sinA，求cosA的值． 参考答案： 考点： 余弦定理的应用；正弦定理的应用． 专题： 计算题． 分析： （I）根据正弦定理把转化为边的关系，进而根据△ABC的周长求出a的值． （II）通过面积公式求出bc的值，代入余弦定理即可求出cosA的值． 解答： 解：（I）根据正弦定理， 可化为． 联立方程组， 解得a=4． ∴边长a=4； （II）∵S△ABC=3sinA， ∴． 又由（I）可知，， ∴． 点评： 本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式．这几个公式是解决三角形边角问题的常用公式，应熟练记忆，并灵活运用．