湖北省随州市蔡河镇中心中学高一数学理联考试题含解析

湖北省随州市蔡河镇中心中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在长方体中，,则二面角的大小为： A． 90°            B． 60°   C． 45°         D． 30° 参考答案： D 2. 已知函数的部分图像，则函数的解析式（   ） A                 B      C                 D  参考答案： B 3. 已知数列{an}满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则 A. －5050 B. 5050 C. －4950 D. 4950 参考答案： A 【分析】 根据已知条件可以推出，当为奇数时，，当为偶数时，，因此去绝对值可以得到，，利用累加法继而算出结果． 【详解】，即， 或， 又， ． 数列为递增数列，数列为递减数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， ． ．故选A． 【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。 4. 函数f（x）=log2（x2﹣x﹣2）的单调递减区间是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．（2，+∞） 参考答案： A 【考点】复合函数的单调性． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，由t＞0 求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论． 【解答】解：令t=x2﹣x﹣2，可得函数f（x）=log2t，∴t＞0，∴x＜﹣1，或x＞2， 故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2 }． 故本题即求函数t在定义域内的减区间． 利用二次函数的性值可得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1）， 故选：A． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质，属于中档题． 5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=8，b=4，A=60°，则cosB=（　　） A． B． C．﹣D．﹣ 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【分析】由已知及正弦定理可得：sinB==，由b＜a，可得范围B＜60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cosB的值． 【解答】解：∵a=8，b=4，A=60°， ∴由正弦定理可得：sinB===， ∵b＜a， ∴B＜60°， ∴cosB=． 故选：A． 6. 已知，则数列的前项和为          A.                             B.                              C.                           D. 参考答案： A 7. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为（      ） A.            B.            C.          D. 参考答案： A 8. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（　　） A．16 B．2 C． D． 参考答案： C 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可． 【解答】解：设幂函数为y=xα， ∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，）， ∴=2α， 解得α=．y=x． f（4）==． 故选：C． 9. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　) A．a≥b＋1　　　　　　　　 B．a＞b－1 C．a2＞b2  D．|a|＞|b| 参考答案： A 解析：由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.54≥3.5＋1，故a＞b a≥b＋1，故A正确． 10. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求； 对B，在上为减函数，不符合题意； 对C，为上的减函数，不符合题意； 对D，在上为减函数，不符合题意. 故选A. 考点：函数的单调性，容易题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______   参考答案： 2   略 12. 若m＞0，且关于x的方程在区间[0,1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是          ． 参考答案： (0,1]∪[3,＋∞) 13. 若直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行，则实数a的值为　   　． 参考答案： -2 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】根据两条直线平行，斜率相等，即可得出结论． 【解答】解：∵直线x﹣y=0与直线2x+ay﹣1=0平行， ∴1=﹣， ∴a=﹣2，显然两条直线不重合． 故答案为﹣2． 14. 已知是与4的等差中项，则的最小值为____. 参考答案： 8 【分析】 根据等差数列的性质得到，原式可化为进而得到结果. 【详解】是与的等差中项,故得到 等号成立的条件是 故答案为：8. 【点睛】本题考查了二元化一元的思想，以及均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 15. 已知函数，则函数的增区间是       ． 参考答案： 可写为开区间; 16. 若A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则△ABC的形状是_______ 参考答案： 钝角三角形     略 17. （5分）若角θ的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则cosθ=        ． 参考答案： 考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由题意可得 x=4a，y=﹣3a，r=5|a|，当a＜0时，r=﹣5a，代入三角函数的定义进行运算，综合两者可得答案． 解答： ∵：∵角θ的终边过点P（4a，﹣3a）（a≠0）， ∴x=﹣4a，y=3a，r=5|a|．a＜0，r=﹣5a． cosθ==． 故答案为：﹣． 点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，本题解题的关键是求出r值，首先用绝对值来表示． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 参考答案： (1)；(2). 试题解析：解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵，∴， ①当时，∴，即； ②当时，∴，∴． 考点：1.集合的运算；2.集合之间的关系. 19. （本小题满分14分） 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明．   参考答案： 解：（1）令， 由 得        ---------------------------------------6 自变量的范围不写扣2分 （2）在(1,+∞)上单调递减       ------------------------------7 设任意的，且，    ------------------9 令， 则 又              ，即  --------------------13 在上单调递减.        -------------------------------14   20. （本小题满分12分）已知点 （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值。 参考答案： （1） A（1，0），B（0，1）， ， 化简得  （若，则，上式不成立） 所以    （6分） （2）， ，       （12分） 21. 已知函数 (为实常数)．  （1）若，求的单调区间；    （2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；  （3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 参考答案： 解析：(1)   ∴的单调增区间为()，(-,0)  的单调减区间为(-)，()  (2)由于，当∈[1,2]时， 10     即     20      即   30      即时    综上可得       (3)  在区间[1,2]上任取、，且 则     (*)   ∵  ∴ ∴(*)可转化为对任意、 即                    10  当 20       由  得    解得 30        得    所以实数的取值范围是 略 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立． （1）试求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式； （2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an，再由数列{an}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式； （2）把数列{an}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求． 【解答】解：（1）由an+1=1+Sn得：当n≥2时，an=1+Sn﹣1， 两式相减得：an+1=2an， ∵数列{an}是等比数列，∴a2=2a1， 又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1． 得：； （2），可知数列是一个递减数列， ∴， 由此可知当n=9时，数列的前项和Tn取最大值．