浙江省衢州市常山县天马中学高三数学理模拟试题含解析

浙江省衢州市常山县天马中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集，集合，，那么集合 等于（    ） A．           B． C．          D． 参考答案： 【标准答案】: D 【试题分析】: ，＝ 【高考考点】:集合 【易错提醒】: 补集求错 【备考提示】: 高考基本得分点 2. 已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是(     ) A．a100=﹣1，S100=5 B．a100=﹣3，S100=5 C．a100=﹣3，S100=2 D．a100=﹣1，S100=2 参考答案： A 考点：数列递推式；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案． 解答： 解：由an+1=an﹣an﹣1（n≥2），得 an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣（an+1﹣an﹣an+1）=an， 所以6为数列{an}的周期， 又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2， 所以a100=a96+4=a4=﹣1， S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5， 故选A． 点评：本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力． 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为(    ) A.      B. 　　　C. 　　D. 参考答案： C 4. 数学归纳法证明（n+1）?（n+2）?…?（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（　　） A．2（2k+1） B． C．2k+1 D． 参考答案： A 【考点】数学归纳法． 【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求． 【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k）， 当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）， 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1）， 故选A． 5. 若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ） A．          B．     C．       D． 参考答案： D 6. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时，f(x)=2﹣，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　） A．(0，)B．(0，) C．(，)D．(，1) 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由f（x+4）=f（x），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论． 【解答】解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4， ∵当x∈[﹣2，0]时， =2﹣2﹣x， ∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]， ∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=2﹣2x=f（x）， 即f（x）=2﹣2x，x∈[0，2]， 由f（x）﹣loga（x+2）=0得f（x）=loga（x+2）， 作出函数f（x）的图象如图： 当a＞1时，要使方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根， 则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点， 则满足，即， 解得：＜a＜ 故a的取值范围是（，）， 故选：C． 7. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（　　）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305） A．22 B．23 C．24 D．25 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：第1次执行循环体后，S==，不满足退出循环的条件，则n=12， 第2次执行循环体后，S==3，不满足退出循环的条件，则n=24， 第3次执行循环体后，S=≈3.1056，满足退出循环的条件， 故输出的n值为24， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 8. tan705°＝ A.       B.      C.       D. 参考答案： B 9. 抛物线的焦点坐标是（    ） A．         B． (0,1)      C．(1,0)       D． 参考答案： C 10. 汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的内经过的路程是 A. 5m  B. C.6m D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的_________条件． 参考答案： 充要 12. 已知向量满足、之间的夹角为，则=     ▲    。 参考答案： 略 13. 经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是　    　． 参考答案： 0.74 【考点】互斥事件的概率加法公式． 【分析】由互斥事件的概率公式可得． 【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率 P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74 故答案为：0.74 　 14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为      。 参考答案： 16+8π 15. 若关于x的不等式2－x2=|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_____． 参考答案： [－，2) y＝2－x2是开口向下的抛物线，y＝|x－a|是与x轴交于(a,0)点的“V字形”折线，显然当a＝2时，y＝2－x2(x<0)的图象都在折线下方，由2－x2＝x－a得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4a＋8＝0得a＝－，此时y＝x－a与y＝2－x2(x<0)相切，故－≤a<2. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为          ． 参考答案：   设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 17. 已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______． 参考答案： ， 若，则，，此时，即的值域是。 若，则，。因为当或时，，所以要使的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分13分) 已知函数。 （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若，求的值。 参考答案： 解：（1）由已知，f（x）=                  所以f（x）的最小正周期为2， （2）由（1）知，f（）=   所以cos（）。  所以            19. （本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：类、类、类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为，和，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，． 　　　　表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，． 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 　　　则． 　　　由已知　，，． 　　　所以，所求的概率为 　　　　　　　               ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为． 　　　  故所求概率为：    20. 已知函数. （Ⅰ）若在上恒成立，求正数a的取值范围； （Ⅱ）证明：. 参考答案： （Ⅰ ）因为，，且， 1分 . 2分 （1）当，即时, 对恒成立， 在上是增函数，所以； 3分 （2）当，即时， 由得：或， 4分 所以在上单调递减，在单调递增，因为， 所以在上不恒成立. 5分 综上所述，a的取值范围为； 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上恒成立， ， 7分 令，有， 当时，， 8分 令，有， 10分 即，， 11分 将上述n个不等式依次相加得： ， 整理得. 12分 21. （本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且， ，，  （Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；  （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．  参考答案： （I）平面平面；    …………………1分 证明：由题意得且   又，则     …………………………3分  则平面,                   ………………5分  故平面平面              ………………7分 （Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立 空间直角坐标系如右图示，则,, 可得,  9分 平面ABCD的单位法向量为，           ……………………………………11分 设直线PC与平面ABCD所成角为，则  13分 则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分 解法2：由（I）知平面，∵面 ∴平面ABCD⊥平面PAB,                                 …………………………9分 在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC， 则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，               …………………………11分 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴, 又 ∴ …………………………13分 在Rt△PEC中.………………14分   22. (本小题满分13分)已知是椭圆的左,右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于点M, N, 交直线于点，且直线，，的斜率成等差数列． （1）