2022年广东省茂名市第一高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年广东省茂名市第一高级中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 与为同一函数的是（    ）.    A．       B.        C.     D. 参考答案： B 2. （4分）已知平面α和直线a，b，c，具备下列哪一个条件时a∥b（） A． a∥α，b∥α B． a⊥c，b⊥c C． a⊥c，c⊥α，b∥α D． a⊥α，b⊥α 参考答案： D 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： a∥α，b∥α?a，b平行、相交或异面；a⊥c，b⊥c?a，b平行、相交或异面；a⊥c，c⊥α，b∥α?a，b平行、相交或异面；a⊥α，b⊥α?a∥b． 解答： ∵a∥α，b∥α， ∴a，b平行、相交或异面，故A不成立； ∵a⊥c，b⊥c， ∴a，b平行、相交或异面，故B不成立； ∵a⊥c，c⊥α，b∥α， ∴a，b平行、相交或异面，故C不成立； ∵a⊥α，b⊥α， ∴a∥b． 故选D． 点评： 本题考查直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 3. 函数，在定义域内任取一点，使的概率是（　　）. Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： C 由得，所以的概率是。 4. 已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质． 【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用． 【分析】利用换元法将函方程转化为f（t）=，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：设t=f（a）+， 则条件等价为f（t）=， 若x≤0，则﹣x≥0， ∵当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1， ∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x）， 即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0， 作出函数f（x）的图象如图： 当x≥0时，由﹣（x﹣1）2+1=，得（x﹣1）2=，则x=1+或x=1﹣， ∵f（x）为偶函数， ∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+； 综上所述，f（t）=得解为t1=1+或t2=1﹣，t3=﹣1﹣，t4=﹣1+； 由t=f（a）+得， 若t1=1+，则f（a）+=1+，即f（a）=+＞1，此时a无解， 若t2=1﹣，则f（a）+=1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解， 若t3=﹣1﹣，则f（a）+=﹣1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解， 若t4=﹣1+，则f（a）+=﹣1+，即f（a）=﹣+∈（﹣∞，0），此时a有2个解， 故共有2+2+2=6个解． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 5. 已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A．         B.        C.        D. 参考答案： B 略 6. 方程 实根的个数为(     ) A.6          B.5           C.4         D.3 参考答案： A 7. 一个球的体积是，这个球的半径等于（    ）      A．         B. 1         C.  2         D. 参考答案： C 略 8. 一船以每小时km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（    ） A. 60km B. km C. km D. 30km 参考答案： A 分析：画出示意图，根据题中给出的数据，解三角形可得所求的距离． 详解：画出图形如图所示， 在中，， 由正弦定理得， ∴， ∴船与灯塔的距离为60km． 故选A． 点睛：用解三角形的知识解决实际问题时需注意以下几点： （1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． （2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，最后可得所求． 9. 如果直线//直线,且//平面,那么与的位置关系是（   ） A. 相交           B. //           C.           D. //或   参考答案： D 略 10. 已知集合，则满足的集合的个数(    ) A．        B．            C．             D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二次不等式的解集为，则_____  ___． 参考答案： －6 ∵不等式的解集为，， ∴原不等式等价于， 由韦达定理知 ． 12. 若对任意x∈（0，），恒有4x＜logax（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是　     　． 参考答案： [，1）   【考点】指、对数不等式的解法． 【分析】对任意的x∈（0，），4x≤logax恒成立，化为x∈（0，）时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方， 在同一坐标系中，分别画出两个函数的图象，由此求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞）， 当x∈（0，）时，函数y=4x的图象如下图所示： ∵对任意的x∈（0，）时，总有4x＜logax恒成立， 若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x图象的上方（如图中虚线所示） ∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时， a=， 故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足≤a＜1． 故答案为：[，1）． 　 13. 在空间直角坐标系中，点与点的距离为. 参考答案： 14. （5分）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=    ． 参考答案： 2 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算律． 专题： 计算题． 分析： 由已知中，，与的夹角为45°，代入向量数量积公式，我们可以计算出?值，又由与垂直，即（）?=0，我们可以构造出一个关于λ的方程，解方程即可求出满足条件的λ值． 解答： ∵，，与的夹角为45°， ∴?=2??cos45°=2 若与垂直， 则（）?=λ（?）﹣=2λ﹣4=0 解得λ=2 故答案为：2 点评： 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的性质及其运算，其中根据与垂直，则其数量积（）?=0，构造出一个关于λ的方程，是解答本题的关键． 15. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是                   ． 参考答案： 16. （3分）已知cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），则cos（α+）﹣sinα的值是        ． 参考答案： 考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 利用诱导公式化简已知条件可得 cos（﹣α）=＜，再由α∈（0，），可得﹣＜﹣α＜﹣，故sin（﹣α）=，要求的式子即sin（﹣α）﹣sinα，利用和差化积公式求出它的值． 解答： ∵cos（α﹣）=﹣，α∈（0，），∴cos（α﹣）=﹣cos（α﹣+π）=﹣cos（α﹣）=，cos（α﹣）=． ∴cos（﹣α）=＜． 再由α∈（0，），可得 ﹣α＞ （舍去），或﹣＜﹣α＜﹣，∴sin（﹣α）=． cos（α+）﹣sinα=sin（﹣α）﹣sinα=2cossin=sin（﹣α）=． 故答案为：． 点评： 本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式、和差化积公式的应用，求出sin（﹣α）=，是解题的难点． 17. 设扇形的半径长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是         参考答案： 试题分析：由扇形面积公式知，解得. 考点：扇形面积公式. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分1 2分）设全集U=R，集合. (I)求； (Ⅱ)若集合，且AUC=A，求实数a的取值范围． 参考答案： 19. A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB=θ且sinθ=． （1）求B点坐标； （2）求的值． 参考答案： 【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义． 【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）分别求出sinθ和cosθ的值，从而求出B点的坐标； （2）根据三角函数的公式代入求出即可． 【解答】解：（1）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限 设B（x，y），则y=sinθ=， x=cosθ=﹣=﹣， ∴B点的坐标为（﹣，）； （2） = = =﹣． 【点评】本题考查了三角函数的定义及其基本关系，熟练掌握三角函数的公式是解题的关键． 20. （12分）已知函数 （1）设、为的两根，且，，试求a的取值范围 （2）当时，f(x)的最大值为2，试求a 参考答案： （1）由题意可得、为的两根，且，， 解得 故 （2）当时，的最大值为2， 由，可知抛物线开口向上，对称轴为 ①若，则当时取得最大值，即， 解得 ②若，则当时取得最大值，即， 解得 故或   21. 抛掷两颗骰子，计算： （1）事件“两颗骰子点数相同”的概率； （2）事件“点数之和小于7”的概率； （3）事件“点数之和等于或大于11”的概率. 参考答案： 解：我们用列表的方法列出所有可能结果： 掷第二颗得到的点数 掷第一颗得到的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表中可知，抛掷两颗骰子，总的事件有36个. （1）记“两颗骰子点数相同”为事件，则事件有6个基本事件， ∴， （2）记“点数之和小于7”为事件，则事件有15个基本事件， ∴ （3）记“点数之和等于或大于11”为事件，则事件有3个基本事件， ∴ 22. 已知向量,满足,,. (1)求向量,所成的角的大小; (2)若,求实数的值. 参考答案： （1）（2） 【详解】解：（1）由，可得． 即， 因为， 所以， 又因为，，代入上式， 可得，即． （2）由，可得． 即， 则，得． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.