2022年江西省吉安市珠田中学高一数学理期末试卷含解析

2022年江西省吉安市珠田中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 经过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线方程是（　　） A．x+y+3=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y﹣3=0 参考答案： C 【考点】直线的两点式方程． 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【解答】解：过经过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线的斜率为： =﹣1． 所求的直线方程为：y﹣4=﹣（x+1）， 即：x+y﹣3=0． 故选：C 【点评】本题考查直线方程的求法，基本知识的考查． 2. 已知数列{ }对任意的p，q∈N*满足且 =6，那么等于 （      ） A． 165 B． 33 C． 30 D． 21 参考答案： C 略 3. 正项等比数列{}的公比为2，若，则的值是 A．3                B．4                C．5                 D．6 参考答案： C 4. 函数的定义域是（　  ） （A）(0,1)       （B）(0,1]       （C）[0,1)      （D）[0,1] 参考答案： C 要使函数有意义,则得 , 即,  即函数的定义域为 , 故选C   5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期为2π B．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称 C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称 D．函数f（x）在[，π]上单调递增 参考答案： D 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于， ∴函数f（x）的周期T=π，故A错误； ∵ω＞0 ∴ω=2， ∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）， ∵函数f（x+）是偶函数， ∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=． ∴f（x）=sin（2x+）． ∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误； 由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x=，k∈Z，故C错误； 由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确． 故选：D． 6. 下列函数中，在上为减函数的是（   ）    A.   B.    C.        D. 参考答案： D 7. 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　) A．2　　      　B．3           C．4            D．5 参考答案： D ∵椭圆方程为，∴焦点坐标为和， 连接，根据椭圆的定义，得，可得， 因此. 当且仅当点P在延长线上时，等号成立. 综上所述，可得的最大值为5. 本题选择D选项.   8. 直线y = k(x－1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（  ） A．[1, ]     B．[1, ]     C．[1,3]    D．[,3] 参考答案： C  略 9. 在△ABC中，，则等于（    ） A．     B．   C．   D． 参考答案： C  解析： 10. 已知角的终边经过点(－3,－4)，则（   ） A．    B．       C．       D． 参考答案： C 由题意可得，所以，，，综上所述，答案选C.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是      ． 参考答案： 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案． 解答： 由题意知，ω=2， 因为，所以，由三角函数图象知： f（x）的最小值为，最大值为， 所以f（x）的取值范围是． 故答案为：． 点评： 本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想． 12. 函数的定义域为___________. 参考答案： 13. 若，则                ． 参考答案： 由题意知，整理得， 所以，则.   14. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，那么当x=0时，f（x）=　　； 当x＜0时，f（x）=　　． 参考答案： 0;﹣x2+x+1. 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】由奇函数的定义得出f（0）=0；由x＞0时，f（x）的解析式，结合函数的奇偶性，求出x＜0时的解析式． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（﹣0）=﹣f（0）， 即f（0）=0； 当x＜0时，﹣x＞0， f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣1=x2﹣x﹣1； 又∵f（﹣x）=﹣f（x）， ∴﹣f（x）=x2﹣x﹣1， ∴f（x）=﹣x2+x+1． 故答案为：0，﹣x2+x+1． 【点评】本题考查了求函数解析式的问题以及函数奇偶性的应用问题，解题时应灵活应用函数的奇偶性进行解答，是基础题． 15. （1）sin120°?cos330°+sin（﹣690°）?cos（﹣660°）+tan675°=     ； （2）已知5cosθ=sinθ，则tan2θ=       ． 参考答案： 0；﹣。 【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）由条件利用诱导公式，求得要求式子的值． （2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值． 【解答】解：（1）sin120°?cos330°+sin（﹣690°）?cos（﹣660°）+tan675° =sin60°?cos（﹣30°）+sin30°?cos60°+tan（﹣45°） =?+?﹣1=0， 故答案为：0． （2）∵已知5cosθ=sinθ，∴tanθ=5，则tan2θ==﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式，属于基础题． 16. 已知，若，化简 ______________． 参考答案： 17. 已知角α终边上一点P（-3，4），则sinα＝____ 参考答案： 【分析】 根据三角函数的定义即可求解. 【详解】解：已知角a的终边经过点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 求函数＋的定义域. 参考答案： 解析：为使函数有意义必须且只需 -----------------4分 先在[0，2π)内考虑x的取值，在单位圆中，做出三角函数线．由①得x∈(0，π)， 由②得x∈[0，]∪[π，2π]．  二者的公共部分为x∈． 所以，函数f(x)的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z}．---------------------12分 19. （本小题满分14分） 已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。    （Ⅰ）求函数的解析式；   （Ⅱ）设其中，求函数在时的最大值 （Ⅲ）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围。 参考答案： （I） (II) 的两根，，又的最小值即,                          … …………………………….（4分）  （Ⅱ）     分以下情况讨论的最大值 （1）.当时，在上是减函数，                  …………………….（6分） （2）.当时，的图像关于直线对称， ，故只需比较与的大小.   当时，即时，. （8分） 当时，即时，                ；  …………………….（9分） 综上所得.             …………………….（10分） （Ⅲ），函数的值域为 在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则           ………………………………………………………….（14分） 20. 作出函数的图象，并指出该函数的定义域、值域及单调区间. 参考答案： 解析： 增区间： 减区间;    21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，向量与向量共线. （1）若，求的值； （2）若M为AC边上的一点，且，若BM为∠ABC的角平分线，求的取值范围. 参考答案： (1)32；(2) 【分析】 由两向量坐标以及向量共线，结合正弦定理，化简可得 （1）由，，代入原式化简，即可得到答案； （2）在和在中，利用正弦定理，化简可得，，代入原式，化简即可得到，利用三角形的内角范围结合三角函数的值域，即可求出的取值范围。 【详解】向量与向量共线 所以，由正弦定理得：.即， 由于在中，，则， 所以，由于 ，则. （1）， . （2）因为，为的角平分线，所以， 在中，，因为，所以， 所以 在中，，因为，所以，所以， 则， 因为，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查向量共线、正弦定理、二倍角公式、三角函数的值域等知识，考查学生转化与求解能力，考查学生基本的计算能力，有一定综合性。 22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.  (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长． 参考答案： (1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC. (2)设AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝． 如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)．     所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)． 设PB与AC所成角为θ，则 cosθ＝＝＝． (3)由(2)知＝(－1，，0)． 设P(0，－，t)(t＞0)， 则＝(－1，－，t)． 设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)， 则·m＝0，·m＝0. 所以 令y＝，则x＝3，z＝， 所以m＝． 同理，可求得平面PDC的法向量n＝． 因为平面PBC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋＝0. 解得t＝． 所以当